$ 解：存在，過A點作AC⊥x軸于C$
$ ∵A( 1，3)、B( 5，0 )$
$ ∴AC=3，BC=4$
$ ∴AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$
$ ①當AP=AB=5，則PC=BC=4$
$ ∴P( -3，0 )$
$ ②當BP=AB=5，則P (0，0)或(10，0 )$
$ ③當PA=PB，則點P在AB的垂直平分線上$
$ 設P(x，0)$
$ ∴AP=BP=5-x$
$ 在Rt△ACP中，AC^2+CP^2=AP^2$
$ 即3^2 +(x- 1)^2= (5-x )^2$
$ 解得x= \frac {15}8$
$ 綜上所述:在x軸上存在點P ，使△PAB是等腰三角形，$
$ 點P的坐標為( - 3，0)、 (0，0)、(10，0)、(\frac {15}8，0)$
