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$(1)解： ∵DE是AB的垂直平分線$

$∴DA=DB∴∠B=∠DAB=40°$

$∴∠ADC=∠B+∠DAB= 80°$

$( 2)證明：∵∠DAC=∠BAC-∠DAB=80°$

$∴∠DAC=∠ADC=80°∴AC=DC$

$∴△ACD是等腰三角形$

$證明：(1)∵∠BAC=90°$

$∴∠DAE+∠EAF=∠F+∠ADE=90°$

$又∵∠EAD=∠EDA$

$∴∠EAF=∠F，AE=DE$

$∴AE=EF$

$∴DE=EF$

（更多請(qǐng)點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）

$ 解：(1)∵∠ABC=∠ACB$

$ ∴AB= AC$

$ ∵AD是△A BC的中線$

$ ∴AD⊥BC$

$ ∴∠B+∠BAD=90°$

$ ∵∠B= 67°$

$ ∴∠BAD= 90° - 67°= 23° $

$(2)解：BD=CF，理由如下：$

$延長(zhǎng)EC至點(diǎn)G，使得EG=BE，連接FG$

$在△BED和△GEF中：$

$\begin{cases}{BE=GE} \\ {∠DEB=∠FEG} \\{DE=FE}\end{cases}$

$∴△BED≌△GEF(SAS)$

$∴∠B=∠G，BD=FG$

$∴AB//FG$

$∴∠CFG=∠BAC=90°$

$∵AB=AC，∠BAC=90°$

$∴∠B=45°，∴∠G=45°$

$∴△CFG是等腰直角三角形$

$∴CF=FG，又BD=FG$

$∴BD=CF$

$(2)證明：∵F 是AC的中點(diǎn)$

$∴CF=\frac 12AC$

$∵CE⊥AB$

$∴∠AEC =∠BEC= 90°$

$∴EF=\frac 12AC∴EF= CF$

$∴F 點(diǎn)在CE的垂直平分線上$

$∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠BEC=90°$

$∴CD=ED=\frac 12BC(直角三角形中斜邊$

$上的中線等于斜邊的一半) $

$∴D點(diǎn)在CE的垂直平分線上$

$∴直線DF 垂直平分CE $

$解：(3)∵∠AEC= 90°，∠BAC= 45°，$

$AC= AB= b，F(xiàn) 是AC的中點(diǎn)$

$∴EF= AF= FC=\frac 2，AE= EC$

$∵∠ADC = 90°，F(xiàn) 是AC的中點(diǎn)$

$∴DF=\frac 12AC=\frac 2$

$∵∠B+∠BAD= 90° =∠B+∠BCE$

$∴∠BAD=∠BCE$

$在△A EO和△CEB中$

$\begin{cases}∠BAD=∠BCE\\AE= CE\\∠AEO=∠CEB= 90°\end{cases}$

$∴△AEO≌△CEB (\mathrm {ASA})$

$∴AO= BC= a$

$∵∠CEB= 90°，BD = CD$

$∴ED=\frac 12BC=\frac {a}2$

$∴△DEF 的周長(zhǎng)= EF+ DF + ED= \frac 12a+b $

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