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線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

PA

PB

PA

PB

C

$解:PA=PC,理由:連接PB$

$∵直線MN和直線DE分別是線段AB,BC的垂直平分線$

$∴PA=PB,PC=PB,∴PA=PC$

$證明:∵BA平分∠CBD,∴∠DBA=∠CBA$

$∵AB平分∠CAD，∴∠DAB=∠CAB$

$在△BAD和△BAC中$

$\begin{cases}{ ∠DBA=∠CBA }\ \\ { BA=BA } \\{ ∠DAB=∠CAB} \end{cases}$

$∴△BAD≌△BAC(ASA),∴DB=CB,AD=AC$

$∴點B,A都在DC的垂直平分線上， ∴AB垂直平分CD$

$證明:∵∠ACB=90°,DE⊥AB, ∴∠ACB=∠BDE=90°$

$在Rt△BDE和Rt△BCE中$

$\begin{cases}{BD=BC\ }\ \\ {BE=BE\ } \end{cases}$

$∴Rt△BDE≌Rt△BCE,∴ED=EC$

$∵ED=EC,BD=BC,∴BE垂直平分CD$

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