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ME=MN

AD垂直平分EF

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$證明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°$

$在Rt△BDE和Rt△CDF中$

$\begin{cases}{ BD=CD }\ \\ { BE=CF } \end{cases}\ $

$∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF$

$∴ AD是∠BAC的平分線$

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$證明:過點P作PN⊥BD于點N,PM⊥BE于點M$

$PF⊥AC于點F$

$∵∠ACD的平分線CP與∠ABC的平分線BP交于點P$

$∴PM=PN,PN=PF,∴PM=PF$

$在Rt△AMP和Rt△AFP中$

$ {{\begin{cases} {{AP=AP}}\\{PM=PF} \end{cases}}}$

$ ∴Rt△AMP≌Rt△AFP(HL),∴∠PAE=∠PAF $

$∴AP平分∠CAE$

$解:設∠ABC=2α,∠ACD=2β$

$∵∠ACD的平分線CP與∠ABC的平分線BP交于點P$

$∴β=α+∠BPC,而β=\frac {2α+∠BAC}{2}$

$∴∠BAC=2∠BPC=80°$

$∴∠CAP=\frac{180°-80°}{2}=50° $

$證明:∵∠CAB=∠EAD\ $

$∴∠CAB+∠DAC=∠EAD+∠DAC\ $

$∴∠DAB=∠EAC$

$在△DAB和△EAC中$

${{\begin{cases} {{AB=AC}} \\ {∠DAB=∠EAC} \\ {DA=EA} \end{cases}}}$

$∴△DAB≌△EAC(SAS),∴BD=CE $

$證明:過點A作AN⊥EC于點N$

$過點A作AM⊥BD于點M$

$由(1)已證明△DAB≌△EAC,BD=CE\ $

$∴S_{△DAB}=S_{△EAC}$

$∵AN⊥EC,AM⊥BD$

$∴S_{△DAB}=\frac{1}{2}DB×AM$

$S_{△EAC}=\frac{1}{2}EC×AN$

$∴\frac{1}{2}DB×AM=\frac{1}{2}EC×AN\ $

$∵BD=CE,∴AM=AN$

$∵AN⊥EC,AM⊥BD$

$∴△ANF和△AMF都是直角三角形$

$在Rt△ANF和Rt△AMF中$

$\begin{cases}{ AF=AF }\ \\ { AN=AM } \end{cases}$

$∴Rt△ANF≌Rt△AMF(HL),∴∠AFN=∠AFM$

$∴FA平分∠BFE $

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