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電子課本網(wǎng) 第34頁

第34頁

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2<AD<7
$ 證明:延長FD至點N,使DN=DF,連接BN,EN$
$ 在△FDC和△NDB中$
$\begin{cases}{ FD=ND }\ \\ { ∠FDC=∠NDB } \\{ CD=BD} \end{cases}$
$ ∴△FDC≌△NDB(SAS),∴FC=BN$
$ ∵DF=DN,DE⊥DF,∴EF=EN$
$ 在△EBN中,BE+BN\gt EN,∴BE+CF\gt EF$
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$證明:延長AF至點G,使FG=AF,連接BG$
$∵F為BE的中點,∴EF=BF$
$在△AFE和△GFB中$
$\begin{cases}{ AF=GF }\ \\ { ∠AFE=∠GFB } \\{ EF=BF} \end{cases}$
$∴△AFE≌△GFB(SAS),∴∠EAF=∠G,AE=BG\ $
$∴AE//BG,∴∠GBA+∠BAE=180°\ $
$∵∠BAC+∠EAD=180°,∴∠DAC+∠BAE=180°\ $
$∴∠GBA=∠DAC$
$∵AD=AE,∴BG=AD$
$在△GBA和△DAC中$
$\begin{cases}{ AB=CA }\ \\ { ∠GBA=∠DAC } \\{ BG=AD} \end{cases}$
$∴△GBA≌△DAC(SAS),∴AG=CD\ $
$∵AG=2AF,∴CD=2AF $
$證明:延長AD至點M,使DM=AD,連接CM\ $
$∵AD是△ABC的中線,∴DB=CD\ $
$\ 在△ABD和△MCD中$
$\begin{cases}{ BD=CD }\ \\ { ∠ADB=∠MDC } \\{AD=MD } \end{cases}$
$∴△ABD≌△MCD(SAS),∴MC=AB,∠B=∠MCD\ $
$∵AB=CE,∴CM=CE$
$∵∠BAC=∠BCA\ $
$∴∠B+∠BAC=∠MCD+∠BCA$
$即∠ACE=∠ACM$
$在△ACM和△ACE中$
$\begin{cases}{ AC=AC }\ \\ { ∠ACM=∠ACE } \\{ CM=CE} \end{cases}$
$∴△ACM≌△ACE(SAS),∴AM=AE\ $
$∵AM=2AD,∴AE=2AD $