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?$\frac {10}{3}π$?

?$2+\sqrt {3}$?

解：?$(1)AD=BD$?

?$(2)$?設主橋拱的半徑為?$R m$?

由題意可知?$AB=30m$?，?$CD=5m$?

∴?$BD=\frac {1}{2}AB=15m$?，

?$OD=OC-CD=(R-5)m$?

∵?$OC⊥AB$?，∴?$∠ODB=90°$?

∴?$OD2+BD2=OB2$?

∴?$(R-5)2+152=R2$?

解得?$R=25$?

答：這座石拱橋主橋拱的半徑為?$25m.$?

證明：?$(1)$?∵?$∠ACB=\frac {1}{2}∠AOB$?，?$∠BAC= \frac {1}{2}∠BOC$?

?$∠ACB=2∠BAC$?

∴?$∠AOB=2∠BOC$?

解：?$(2)$?過點?$O$?作半徑?$OD⊥AB$?于點?$E$?，連接?$BD$?

易知?$AE=BE$?

∵?$∠AOB=2∠BOC$?，?$∠DOB=\frac {1}{2}∠AOB$?

∴?$∠DOB=∠BOC$?

∴?$BD=BC$?

∵?$AB=4$?，?$BC=\sqrt {5}$?

∴?$BE=2$?，?$DB=\sqrt {5}$?

在?$Rt△BDE$?中，?$∠DEB=90°$?

∴?$DE= \sqrt {BD^2-BE^2}=1$?

在?$Rt△BOE$?中，?$∠OEB=90°$?

?$OB2=(OB-1)2+22$?

解得?$OB=\frac {5}{2}$?

即?$⊙O$?的半徑是?$\frac {5}{2}$?

解：?$(1)AD$?與?$⊙O$?相切，理由：連接?$OA$?

∵?$AD//BC$?，∴?$∠D=∠DBC$?

∵?$AD=AB$?，∴?$∠D=∠ABD$?

∴?$∠DBC=∠ABD=\frac {1}{2}∠ABC=30°$?

∴?$∠BAD=180°-∠D-∠ABD=120°$?

∵?$OA=OB$?

∴?$∠BAO=∠ABD=30°$?

∴?$∠OAD=90°$?

∴?$OA⊥AD$?

∵?$OA$?是圓的半徑

∴?$AD$?與?$⊙O$?相切

?$(2)$?連接?$OC$?，過?$O$?作?$OH⊥BC$?于?$H$?

∵?$OB= OC$?

∴?$∠OCB=∠OBC=30°$?

∴?$∠BOC=120°$?

∵?$Rt△OBH$?中，?$OB=6$?，?$∠OBH=30°$?

∴?$OH=\frac {1}{2}OB= 3$?

∴?$BH= \sqrt {62-32}=3\sqrt {3}$?

∴?$BC=2BH=6\sqrt 3$?

∵?$S_{扇形OBC} =\frac {120 · π×6^2}{360}=12π$?，

?$S_{△OBC}=\frac {1}{2}BC · OH=\frac {1}{2}×6\sqrt 3×3 =9\sqrt 3$?

∴?$S_{陰影}=12π-9\sqrt 3$?

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