解：設(shè)?$\odot P $?與坐標(biāo)軸的切點(diǎn)為?$D$?
∵直線?$y=x-2$?與?$x$?軸、?$y$?軸分別交于點(diǎn)?$B$?、?$C$?
?$x=0$?時(shí)，?$y=-2$?；?$y=0$?時(shí)，?$x=2$?
∴?$B(2$?，?$0)$?，?$C(0$?，?$-2)$?
∴?$OB=OC=2$?
∴?$△OBC$?是等腰直角三角形，?$∠OBC=45°$?
∵點(diǎn)?$A(4$?，?$m)$?在直線?$y=x-2$?上
∴?$m=4-2=2$?，∴?$A(4$?，?$2)$?
∴?$AB=2\sqrt 2$?，?$AC=4\sqrt 2$?
①如圖，當(dāng)?$⊙P $?只與?$x$?軸相切時(shí)
∵點(diǎn)?$D$?是切點(diǎn)，?$\odot P $?的半徑是?$1$?
∴?$PD⊥x$?軸，?$PD=1$?
∴?$△BDP $?是等腰直角三角形
∴?$BD=PD=1$?
∴?$PB=\sqrt {2}$?
∴?$AP=AB-PB=\sqrt {2}$?
∵點(diǎn)?$P $?的運(yùn)動(dòng)速度為每秒?$\sqrt 2$?個(gè)單位長(zhǎng)度
∴?$t=\sqrt {2} ÷\sqrt {2}=1$?
②如圖，?$\odot P $?與?$x$?軸和?$y$?軸同時(shí)相切時(shí)
易知?$PB=\sqrt {2}$?
∴?$AP=AB+PB=3\sqrt 2$?
∵點(diǎn)?$P $?的運(yùn)動(dòng)速度為每秒?$\sqrt 2$?個(gè)單位長(zhǎng)度
∴?$t=3\sqrt 2÷\sqrt {2}=3$?
?$ ③$?當(dāng)?$\odot P $?只與?$y$?軸相切時(shí)，易知?$PC=\sqrt {2}$?
∴?$AP=AC+PC=5\sqrt 2$?
∵點(diǎn)?$P $?的運(yùn)動(dòng)速度為每秒?$\sqrt 2$?個(gè)單位長(zhǎng)度
∴?$t=5\sqrt 2÷\sqrt {2}=5$?
綜上所述，當(dāng)?$t $?的值為?$1$?或?$3$?或?$5$?時(shí)，
?$\odot P $?與坐標(biāo)軸相切
