證明：?$(1)$?連接?$BD$?
∵?$\widehat {AB}=\widehat {CD}$?
∴?$AB=CD$?，
?$\widehat {AB}+\widehat {BD}=\widehat {CD}+\widehat {BD}$?
∴?$\widehat {AD}=\widehat {BC}$?
∴?$AD=BC$?
在?$△ABD$?和?$△CDB$?中
?$\begin {cases}{AB=CD}\\{AD=CB}\\{BD=DB}\end {cases}$?
∴?$△ABD≌△CDB(\mathrm {SSS})$?
∴?$∠BAD=∠BCD$?
在?$△ABE$?與?$△CDE$?中
?$\begin {cases}{∠BAD=∠BCD}\\{∠AEB=∠CED}\\{AB=CD}\end {cases}$?
∴?$△ABE≌△CDE(\mathrm {AAS})$?
∴?$BE=DE$?
解：?$(2)$?過?$O$?作?$OF⊥AD$?于點?$F$?，?$OG⊥BC$?于點?$G$?
連接?$OA$?，?$OC$?
根據(jù)垂徑定理得?$AF=FD$?，?$BG=CG$?
∵?$AD=BC$?，∴?$AF=CG$?
在?$Rt△AOF $?與?$Rt△COG $?中
?$\begin {cases}{OA=OC}\\{AF=CG}\end {cases}$?
∴?$Rt△AOF≌Rt△COG(\mathrm {HL})$?
∴?$OF=OG$?
∵?$AD⊥CB$?
∴四邊形?$OFEG $?是正方形
∴?$OF=EF$?
設(shè)?$OF=EF=x$?
則?$AF=FD=x+1$?
∵?$OF2+AF2=OA2$?
∴?$x2+(x+1)2=52$?
解得?$x_{1}=3$?，?$x_{2}=-4($?舍去?$)$?
∴?$AF=4$?
∴?$AE=7$?
