$ 解:第一次是點(diǎn) A 以 B 為旋轉(zhuǎn)中心, 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^{\circ} 得到 A_{1} ,$
$ 長(zhǎng)方形的對(duì)角線 A B 長(zhǎng)為 \sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 \mathrm{cm} , 此次 A 點(diǎn)走過的路徑為 A A_{1} 弧,$
$ A A_{1}=2 \pi \times 5 \times \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{5 \pi}{2}(\mathrm{cm}) \text {, }$
$ 第二次是點(diǎn) A_{1} 以 C 為旋轉(zhuǎn)中心, 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^{\circ} 得到 A_{2} ,$
$ \because C A_{1} 的長(zhǎng)為 3 \mathrm{cm}, A_{2} C 與桌面成 30^{\circ} 角,$
$ \therefore \angle A_{1} C A_{2}=60^{\circ} \text {, }\therefore 此次 A 點(diǎn)走過的路徑為 A_{1} A_{2} 弧,$
$ A_{1} A_{2}=2 \pi \times 3 \times \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\pi(\mathrm{cm}) \text {, }\therefore A 點(diǎn)走過的路徑為 \frac{5 \pi}{2}+\pi=3.5 \pi(\mathrm{cm}) ,$
