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$ 解：半徑為3m的⊙O與AB所在的直線相離，理由如下：$

$ 如圖，連接OA，過點O作OC⊥AB，垂足為C$

$ 由垂徑定理，可得AC=\frac 1 2AB=\frac 1 2×6=3cm，在Rt△AOC中，由勾股定理，得$

$ OC=\sqrt {{OA}^{2}-{AC}^{2}}=\sqrt {{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt {3}cm$

$ ∵3\sqrt {3}＞3∴半徑為3cm的⊙O與AB所在的直線相離$

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$解：連接OA，過點O作OD⊥AC，$

$垂足為D。$

$在 Rt \triangle A O D 中，\ $

$O A=5\ \mathrm {cm}，$

$\ A D=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} C=2\ \mathrm {cm}，$

$則OD =\sqrt{21}\ \mathrm {cm}，$

$即以O為圓心，與AC相切的圓的半徑為 \sqrt{21}\ \mathrm {cm}。$

$過點 O作 O E \perp A B，垂足為 E$

$在Rt \triangle A O E 中，\ $

$O A=5\ \mathrm {cm}，\ $

$A E=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B=3\ \mathrm {cm}，$

$則OE=4\ \mathrm {cm}由于 O E\lt \sqrt{21}\ \mathrm {cm}，$

$即所作圓與 A B 相交. $

$解：(1)∵AB=5\ \mathrm {cm}，$

$BC=4\ \mathrm {cm}，AC=3\ \mathrm {cm}$

$∴A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$

$∴△ABC是直角三角形$

$∴點C到AB的距離$

$d=\frac {AC?BC}{AB}=\frac {3×4}{5}=\frac {12}{5}(\ \mathrm {cm})$

$∵r=2\ \mathrm {cm}＞\frac {12}{5}\ \mathrm {cm}$

$∴直線AB與☉C相離. $

$(2)由上有當直線AB與☉C相切時，$

$r=d=\frac {12}{5}\ \mathrm {cm} $

$(3)由(1)有當r=\frac {12}{5}\ \mathrm {cm}時，$

$☉C與AB有唯公共點. $

$當3＜r＜4時，$

$☉C與線段AB相交也只有一個公共點. $

$∴當r=\frac {12}{5}\ \mathrm {cm}或3＜r＜4時，$

$☉C與線段AB只有一個公共點. $

$解：(1)過點O作OM\bot FG于點M，$

$延長MO交BC于點N，連接OG，$

$\because 四邊形ABCD是矩形，$

$\therefore \angle C=\angle D=90^{\circ}，$

$\therefore BE是\odot O的直徑.$

$\because \angle C=\angle D=\angle DMN=90^{\circ}，$

$\therefore 四邊形MNCD是矩形，$

$\therefore MN\bot BC，MN=CD=AB=4，$

$\therefore BN=CN.$

$\because OB=OE，$

$\therefore ON是\triangle BCE的中位線$

$\therefore ON=\frac {1}{2}CE=1，$

$\therefore OM=4-1=3，$

$在Rt\triangle BCE中，$

$BE=\sqrt{B{C}^2+C{E}^2}=2\sqrt{10}， $

$\therefore OG=\frac {1}{2}BE=\sqrt{10}，$

$在Rt\triangle OMG 中，$

$MG=\sqrt{O{G}^2-O{M}^2}=1，$

$\therefore FG=2MG=2.$

$解：(2)如圖，$

$當圓O與AD相切于點M時，$

$連接OM并反向延長交BC于點N.$

$由(1)易得ON=\frac {1}{2}CE=\frac {1}{2}m，$

$OB=OM=4-\frac {1}{2}m， $

$BN=3，$

$在Rt\triangle BON中，$

$ON^2+BN^2=OB^2，$

$即(\frac {1}{2}m)^2+3^2=(4-\frac {1}{2}m)^2，$

$解得m=\frac {7}{4}，$

$\therefore 當0 \lt m \lt \frac {7}{4}時，\odot O與AD相離，$

$當m=\frac {7}{4}時，\odot O與AD相切，$

$當\frac {7}{4} \lt m \lt 4時，\odot O與AD相交.$

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