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$ 證明： \because 四邊形 A B C D 是 \odot O 的內(nèi)接四邊形， $

$ \therefore \angle A D C+\angle B=180^{\circ} . $

$ \because A B / / C D， $

$ \therefore \angle A D C+\angle A=180^{\circ} . $

$ \therefore \angle A=\angle B ..$

$ \therefore \triangle A B E 是等腰三角形。$

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$解：(1) \because A B=A C，$

$\therefore \angle B=\angle A C B .$

$\because 四邊形 A F D C 是圓的內(nèi)接四邊形，$

$\therefore ∠AFD+\angle A C B=\angle B F D+\angle A F D=180^{\circ} .$

$\therefore \angle B F D=\angle A C B .$

$\therefore \angle B F D=\angle B .$

$\therefore B D=D F .\therefore \triangle B D F 是等腰三角形$

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$證明：(1)連接AE，BF，如圖，$

$∵AB是直徑，$

$∴∠AEB=90°，$

$∵AB=AC，$

$∴∠ABC=∠C，BE=CE．$

$∵AE//BC，$

$∴∠AEC=∠EAF=90°，$

$∴∠FAE=∠BFA=∠BEA=90°， $

$∴四邊形FAEB是矩形，$

$∴FA=BE=CE，$

$∵AF//CE，$

$∴四邊形ACEF是平行四邊形.$

$(2)∵四邊形AEBF是圓內(nèi)接四邊形，$

$∴∠AFE+∠ADE=180°， $

$∵∠CDE+∠ADE=180°，$

$∴∠CDE=∠AFE，$

$∵EF//AC，$

$∴∠FED=∠CDE，$

$∴∠FED=∠AFE，$

$∵AF//BC，$

$∴∠FEB=∠AFE，$

$∴∠BEF=∠FED，∴EF平分∠BED．$

$證明：連接 B D .$

$\because 點 D 是 \widehat{B C} 的中點，\therefore \widehat{D B}=\widehat{D C}\ $

$\therefore \angle D B C=\angle D C B， D B=D C.$

$又 ∵∠DAF+∠DAC=180°，$

$\angle D A C=\angle D B C， $

$\therefore \angle D A F+\angle D C B=180^{\circ}$

$\because 四邊形 A B C D 是 \odot O 的內(nèi)接四邊形，$

$\therefore \angle D A B+\angle D C B=180^{\circ} .$

$\therefore \angle D A F=\angle D A B.$

$在 \triangle D A F 和 \triangle D A B 中，$

$\begin{cases}{AF=AB }\\{∠DAF=∠DAB} \\ {DA=DA} \end{cases}$

$\therefore \triangle D A F \cong \triangle D A B(\mathrm {SAS}) .$

$\therefore D F=D B.$

$又 \because D B=D C，$

$\therefore D F=D C.$

$又 \because D E \perp A C，$

$\therefore E F=E C，即點 E 是 F C 的中點 $

$(2) 如題圖， A B=D E， \angle B=\angle A E D，\ $

$則四邊形 A B D E 是平行四邊形是假命題.$

$\because \widehat{D E}=\widehat{A C}，\therefore D E=A C.$

$\because A B=A C，$

$\therefore A B=D E .$

$\because A B=A C，$

$\therefore \angle B=\angle A C B .$

$\because \angle A C B=\angle A E D，$

$\therefore \angle B=\angle A E D .$

$\because \widehat{A C}=\widehat{D E}，$

$\therefore \widehat{A C}-\widehat{C E}=\widehat{D E}-\widehat{C E}，$

$即 \widehat{A E}=\widehat{C D} .$

$\therefore A E=C D\gt B D .$

$\therefore 四邊形 A B D E 不是平行四邊形$

$\therefore “一組對邊相等，且一組對角相等的 $

$四邊形是平行四邊形” 是假命題。 $

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