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第43頁(yè)

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$ 解：(1) \because A B 是 \odot O 的直徑，$

$\therefore \angle A C B=90^{\circ} .$

$\because \angle C A B=30^{\circ}，$

$\therefore \angle B=60^{\circ} .$

$\therefore \angle A D C=60^{\circ}$

$ 解：(1) \because C 為 \widehat{B D} 的中點(diǎn)，\therefore \angle B A C=\angle C A P .$

$\because A B 是直徑，\therefore \angle A C B=\angle A C P=90^{\circ} .$

$\therefore \angle A B C+\angle B A C=90^{\circ}， \angle P+\angle C A P=90^{\circ} .$

$\therefore \angle A B C=\angle P .$

$\therefore A B=A P$

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$解：(1)△BDE是等腰直角三角形，理由如下：$

$∵AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，$

$∴∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠EBC，$

$∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∠DBE=∠DBC+∠CBE，$

$∴∠BED=∠DBE，∴BD=ED，$

$∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，$

$∴△BDE是等腰直角三角形。$

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$(2) 連接 O C .$

$\because O A=O C， O E \perp A C，$

$\therefore A E=C E.$

$\therefore O E 為 \triangle A B C 的中位線.$

$\because A B=6，$

$\ \angle C A B=30^{\circ}，$

$\therefore B C=3 .$

$\therefore O E=\frac {1}{2}\ \mathrm {B} C=\frac {3}{2}$

$解：(2) 連接 B D .$

$\because A B 是直徑，$

$\therefore \angle A D B=\angle B D P=90^{\circ}，$

$\because A B=A P=10， D P=2， $

$\therefore A D=10-2=8\ $

$\therefore B D=\sqrt{A B^2-A D^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6 .$

$\therefore P B=\sqrt{B D^2+P D^2}$

$=\sqrt{6^2+2^2}$

$=2 \sqrt{10}，$

$\because A B=A P， A C \perp B P，$

$\therefore B C=P C=\frac {1}{2}\ \mathrm {P} B=\sqrt{10}，$

$即線段 P C 的長(zhǎng)為 \sqrt{10} $

$(2)連接OC，CD，OD，OD交BC于點(diǎn)F。$

$∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD，$

$∴BD=CD，$

$∵OB=OC，$

$∴OD垂直平分BC，$

$∵△BDE是等腰直角三角形，BE=2\sqrt{10}，$

$∴BD=2\sqrt{5}， $

$∵AB=10，∴OB=OD=5，$

$設(shè)OF=t，則DF=5-t，$

$在Rt△BOF 和Rt△BDF 中，$

$5^2-t^2=(2\sqrt{5})^2-(5-t)^2，$

$解得t=3，$

$∴BF=4，∴BC=8。$

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