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$ 證明：(1) 如圖，連接B D .$

$\because \widehat{A B}=\widehat{C D},$

$\therefore \angle A D B=\angle C B D .$

$\therefore A D / / B C \quad$

$證明： \because C A=C D，\therefore \angle D=\angle C A D .$

$\because \angle D=\angle C F A，\therefore \angle C A D=∠CEA$

$∵∠CEA=\angle B+\angle E C B，\therefore \angle C A E+\angle E A D=\angle B+\angle E C B .$

$\because C A=C B，\therefore \angle C A E=\angle B .$

$\therefore \angle E A D=\angle E C B .$

$\because \angle E A D=\angle E C D，$

$\therefore \angle E C B=\angle E C D .$

$\therefore C E 平分 \angle B C D$

$證明：(1)因?yàn)镃F=CH$

$所以∠CFH=∠CHF因?yàn)椤螩FH=∠ADH，∠CHF=∠AHD$

$所以∠ADH=∠AHD$

$所以AH=AD$

$因?yàn)锽F=BD所以\widehat{FB}=\widehat{BD}$

$所以∠HAE=∠DAE$

$所以AE⊥HD$

$所以AB⊥CD.$

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$證明：∵AD⊥BC，$

$∴∠AGB=∠DGC=90°，$

$∴∠A+∠B=90°，$

$∵∠B=∠D，∴∠A+∠D=90°，$

$∵E為AB中點(diǎn)，∴EA=EG，$

$∴∠A=∠AGE，$

$而∠AGE=∠DGF，$

$∴∠A=∠DGF，∴∠DGF+∠D=90°，$

$∴∠DFG=90°， $

$∴EF⊥CD $

$(2) 如圖，連接 C D，$

$設(shè) O C 與 B D 相交于點(diǎn) F$

$∵A D / / B C,$

$\therefore \angle E D F=\angle C B F .$

$\because \widehat{B C}=\widehat{C D},$

$\therefore B C=C D, B F=D F.$

$又 \because \angle D F E=\angle B F C,$

$\therefore \triangle D E F \cong \triangle B C F(\mathrm{ASA}),$

$\therefore D E=B C.$

$\therefore 四邊形 B C D E 是平行四邊形.$

$又 \because B C=C D,$

$\therefore 四邊形 B C D E 是菱形$

$解：(2)因?yàn)锳H⊥AD，∠HAE=∠DAE$

$所以HE=DE$

$設(shè)OE=x$

$因?yàn)镺H=1$

$所以HE=x+1=DE$

$所以O(shè)D=2x+1=AO$

$因?yàn)镺E2+AE2=AO2$

$所以x2+42=(2x+1)2$

$解得x=\frac {5}{3}$

$所以AO=2×\frac {5}{3}+1=\frac {13}{3} $

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