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$ 解： A 、 B 、 C 、 D 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。連接 B D.$

$在 Rt \triangle A B D 中， B D=\sqrt{A B^2+A D^2}=\sqrt{(5 \sqrt{3})^2+5^2}=10.$

$在 \triangle B C D 中，\because 8^2+6^2=100，即 B C^2+C D^2=B D^2，$

$\therefore \triangle B C D 是直角三角形.$

$\therefore 易證得 B 、 C 、 D 在以 B D 為直徑的圓上.$

$又 \because \triangle A B D 是直角三角形，$

$\therefore 易證得 A 、 B 、 D 在以 B D 為直徑的圓上.$

$\therefore A 、 B 、 C 、 D 四點(diǎn)在以 B D 為直徑的圓上$

$ 證明： (1) \because D 是 \triangle A B C 的邊 B C 的中點(diǎn)，$

$\therefore B D=C D，\because B C / / E F， A D \perp E F，$

$\therefore A D \perp B C .$

$\therefore A B=A C \quad$

$(2) 連接 B O .\because B D=C D， A D \perp B C，$

$\therefore B O=C O .$

$\because A O=C O，$

$\therefore A O=B O=C O .$

$\therefore 點(diǎn) O 是 \triangle A B C 的外接圓的圓心$

$解：(1)如圖所示。$

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$(2)連接AO，OB$

$∵BC=16\ \mathrm {cm}，$

$∴BD=8\ \mathrm {cm}，$

$∵AB=10\ \mathrm {cm}，$

$∴AD=6\ \mathrm {cm}，$

$設(shè)圓片的半徑為R，在Rt△BOD中，$

$OD=(R-6)\ \mathrm {cm}，$

$∴R^2=10^2+(R-6)^2，$

$解得：R=\frac {34}{3}\ \mathrm {cm}，$

$∴圓片的半徑R為\frac {34}{3}\ \mathrm {cm}$

$解：過(guò)點(diǎn)A 作AD⊥BC，垂足為D$

$∵AB=AC=5，AD⊥BC，BC=6$

$∴BD=\frac 1 2BC=3，$

$AD垂直平分BC$

$∴點(diǎn)O在直線AD上$

$∴在Rt△ABD中，$

$AD=\sqrt {{AB}^{2}-{BD}^{2}}=4$

$當(dāng)點(diǎn){O}_{1}在AD的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，$

$連接{O}_{1}$

$B{O}_{1}D=AD+A{O}_{1}=4+3=7$

$在Rt△{O}_{1}BD中，$

${O}_{1}B=\sqrt {{{O}_{1}D}^{2}+{BD}^{2}}$

$=\sqrt {58}$

$當(dāng)點(diǎn){O}_{2}在線段AD上時(shí)，$

$連接{O}_{2}B$

${O}_{2}D=AD-A{O}_{2}=4-3=1$

$在Rt△{O}_{2}BD中，$

${O}_{2}B=\sqrt {{{O}_{2}D}^{2}+{BD}^{2}}$

$=\sqrt {10}$

$綜上所述，⊙O的半徑為\sqrt {58}或\sqrt {10} $

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