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$ 解：連接 O E 、 C E，$

$\because O C \perp A B， D E / / A B，$

$\therefore D E \perp O C .$

$\because D 是 O C 的中點(diǎn)，$

$\therefore C E=O E.$

$\because O E=O C，\therefore \triangle O C E 是等邊三角形.$

$\therefore \angle C O E=60^{\circ}， \angle A O E=30^{\circ} .$

$\therefore \widehat{E C}=2 \widehat{E A}$

$ 解：(1) 連接 O F. 由題意得$

$\ O B=O E=O A， A E=A B，$

$\therefore \angle E A O=\angle A E O，\angle B A O=\angle A B O， \widehat{A E}=\widehat{A B} .$

$\therefore \angle A O E=\angle A O B .$

$\therefore \angle E A O=\angle B A O \quad$

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$(2) 連接 B F .$

$\because O E=O F， O E=E F，$

$\therefore O E=O F=E F .$

$\therefore \angle E O F=60^{\circ} .$

$\because A E=B F=A B，$

$\therefore \widehat{A E}=\widehat{B F}=\widehat{A B} .$

$\therefore \angle A O E=\angle B O F=\angle A O B .$

$\therefore \angle P O Q=\frac {1}{3} \angle E O F=20^{\circ}$

$解：不同意他的說法理由：$

$取 \widehat{A B} 的中點(diǎn) E，$

$\ 連接 A E 、 B E 、 O E .$

$\because E 為 \widehat{A B} 的中點(diǎn)，$

$\therefore \widehat{A E}=\widehat{B E} \therefore \angle A O E=\angle B O E .$

$\because \angle A O B=\angle A O E+\angle B O E，$

$\ \angle A O B=2 \angle C O D， $

$\therefore \angle C O D=\angle A O E=\angle B O E .$

$\therefore \widehat{A E}=\widehat{B E}=\widehat{C D} .$

$\therefore \widehat{A B}=2 \widehat{C D}， A E=B E=C D .$

$\because A E+B E\gt A B，\therefore 2\ \mathrm {C} D\gt A B，$

$\therefore_{小}明的說法不正確.$

$\therefore 不同意小明的說法。$

$證明：連接 A C， B D\ $

$\because C 、 D 是 \widehat{A B} 的兩個(gè)三等分點(diǎn)，$

$\therefore A C=C D=B D， \angle A O C=\angle C O D .$

$\because O A=O C=O D， $

$\therefore \triangle A C O \cong \triangle D C O(\mathrm {SAS})，$

$\therefore \angle A C O=\angle O C D.$

$易證得 \angle O E F=\angle O A E+\angle A O E=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}，$

$\angle O C D=\frac {180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}，$

$\therefore \angle O E F=\angle O C D .\therefore C D / / A B .$

$\therefore \angle A E C=\angle O C D .$

$\therefore \angle A C O=\angle A E C.\therefore A C=A E.$

$同理可得， B F=B D.$

$又 \because A C=C D=B D，$

$\therefore A E=B F=C D$

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