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$ 證明：(1)∵OA=OB，OC=OD，$

$∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，$

$∵∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，$

$∴∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，$

$∴∠AOC=∠DOB$

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$解：(2)過O作OE⊥AB于E，$

$∴AE=EB，CE=ED，$

$∴AE﹣CE=BE﹣DE，即AC=BD$

$解：連接 O C .$

$\because A B=5\ \mathrm {cm}，$

$\therefore O C=O A=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B=\frac {5}{2}\ \mathrm {cm}.$

$在 Rt \triangle C D O 中，由勾股定理，$

$\ 得D O=\sqrt{O C^2-C D^2}$

$=\sqrt{(\frac {5}{2})^2-2^2} $

$=\frac {3}{2}(\ \mathrm {cm})，$

$\therefore A D=O A-D O=\frac {5}{2}-\frac {3}{2}=1(\ \mathrm {cm}) . $

$在 Rt \triangle A C D 中，由勾股定理，$

$\ 得A C=\sqrt{C D^2+A D^2}$

$=\sqrt{2^2+1^2}$

$=\sqrt{5}(\ \mathrm {cm}) $

$解：連接 O B .$

$\because A B=O C，$

$\therefore A B=B O .$

$\therefore \angle B O C=\angle A .$

$\therefore \angle E B O=\angle B O C+\angle A=2 \angle A .$

$\because O B=O E，$

$\therefore \angle E=\angle E B O=2 \angle A .$

$\therefore \angle E O D=\angle E+\angle A=3 \angle A.$

$\because \angle E O D=84^{\circ}，$

$\therefore 3 \angle A=84^{\circ} .$

$\therefore \angle A=28^{\circ}$

$解：連接OC、OD$

$∵AB是圓O的直徑$

$∴OA=OB=OC=OD$

$∵AE=BF$

$∴AO-AE=BO-BF，即OE=OF$

$∵CE⊥AB，DF⊥AB$

$∴∠CEO=∠DFO=90°$

$在Rt△CEO和Rt△DFO中$

$\begin{cases}OE=OF\\OC=OD\end{cases} $

$∴Rt△CEO≌Rt△DFO(\mathrm {HL})$

$∴∠COA=∠DOB$

$∴ \widehat{AC}=\widehat{BD} $

$∴AC=BD$

$解：∵四邊形ABCD是正方形，$

$∴∠ABC=∠BCD= 90°，\ $

$AB= BC= CD.$

$∴∠DCO= 90°.$

$∵∠POM=45°∴∠CDO=45° ，$

$∴CD=CO，$

$∴BO= BC+CO= BC+CD，$

$∴BO= 2AB.$

$連接AO，如圖所示：$

$∵MN=10，∴AO=5，$

$在Rt△ABO中，$

$AB^2+ BO^2=AO^2，$

$即AB^2+ (2AB)^2=5^2\ ，$

$解得AB=\sqrt{5}$

$則正方形ABCD的邊長為\sqrt{5}.$

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