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解：?$(2)$?由題意知，無蓋長方體盒子的長為?$(60-2x)\mathrm {cm}$?，
寬為?$(40-2x)\mathrm {cm}$?
則?$60-2x=2(40-2x)$?
解得?$x=10$?
∴?$60-2x=40$?，?$40-2x=20$?
?$40×20×10=8000(\mathrm {cm}^3)$?
答：該盒子的體積為?$8000\ \mathrm {cm}^3$?。
解：?$(1)$?∵?$∠AOD=α=150°$?，∴?$∠BOD=180°-∠AOD=30°$?
∵?$OD$?平分?$∠BOC$?，∴?$∠DOC=∠BOD=30°$?
∴?$∠AOC=∠AOD-∠DOC=150°-30°=120°$?
?$(2)$?證明：∵在?$∠AOD$?的內部畫射線?$OE$?，?$∠BOE= 90°$?
∴?$∠BOD+∠DOE=90°$?
∵?$OD$?平分?$∠BOC$?，∴?$∠DOC=∠BOD$?
∴?$∠DOC+∠DOE=90°$?，∴?$∠DOE$?與?$∠DOC$?互余
?$(3)$?當射線?$OE$?在?$∠AOD$?內部時，如圖①
∵?$OD$?平分?$∠BOC$?，∴?$∠DOC=∠BOD$?
∵?$∠DOE+∠DOC=90°$?
∴?$∠DOE+∠BOD=90°$?，∴?$∠BOE=90°$?
當射線?$OE$?在?$∠AOD$?外部時，如圖②
∵?$∠AOD=α$?，∴?$∠BOD=180°-α$?
∵射線?$OD$?平分?$∠BOC$?
∴?$∠BOC=2∠BOD=2(180°-α)$?
∵?$∠DOE+∠DOC=90°$?，即?$∠EOC=90°$?
∴?$∠BOE=90°-2(180°-α)=2α-270°$?
∴?$∠BOE=90°$?或?$BOE=2α-270°$?
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