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A

30

80

C

360

70

40

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$解：(1)如圖①，過P作PE//AB，$

$因為AB//CD，$

$所以PE//AB//CD，$

$所以∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，$

$所以∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°.\ $

$解：(2)∠AKC=\frac{1}{2}∠APC.理由：$

$如圖②，過點K作KE//AB，$

$因為AB//CD，$

$所以KE//AB//CD，$

$所以∠AKE=∠BAK∠CKE=∠DCK，$

$所以∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK.$

$過點P作PF//AB，同理可得∠APC=∠BAP+∠DCP.$

$因為∠BAP與∠DCP的平分線交于點K，$

$所以∠BAK+∠DCK=\frac{1}{2}∠BAP+\frac{1}{2}∠DCP=\frac{1}{2}(∠BAP+∠DCP)=\frac{1}{2}∠APC，$

$所以∠AKC=\frac{1}{2}∠APC.$

$解：(3)∠AKC=\frac{1}{2}∠APC.$

$理由：如圖③，過點K作KE//AB，$

$因為AB//CD，$

$所以KE//AB//CD，$

$所以 ∠BAK= ∠AKE，∠DCK=∠CKE,$

$所以∠AKC= ∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK.$

$過點PF作PF//AB，$

$同理可得，∠APC= ∠BAP-∠DCP.$

$因為∠BAP與∠DCP 的平分線相交于點K,$

$所以∠BAK-∠DCK=\frac{1}{2}∠BAP-\frac{1}{2}∠DCP=\frac{1}{2}(∠BAP-∠DCP)=\frac{1}{2}∠APC，$

$所以∠AKC=\frac{1}{2}∠APC.$

$解：(2)過點E作EF//AB，如圖①，$

$所以AB//EF//CD，$

$所以∠A+ ∠AEF=180°，$

$∠C+∠CEF=180°$

$因為∠A=160°，∠C=135°，$

$所以∠AEF=180°-∠A=20°，$

$∠CEF=180°-∠C=45°.\ $

$所以∠AEC=∠AEF+∠CEF=65°.\ $

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