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$\frac{a-b}{2} $

B

是

20-3t

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$解：(1) 因?yàn)?A B=10 cm，點(diǎn) M 是 A B 的中點(diǎn)，$

$所以 B M=\frac{1}{2} A B= 5cm .$

$因?yàn)?B C=4 cm ，點(diǎn) N 是 B C 的中點(diǎn)，$

$所以 B N= \frac{1}{2} B C=2 cm ，$

$所以 M N=B M-B N=3 cm .$

$所以線(xiàn)段 M N 的長(zhǎng) 度為 3 cm .$

$解：(3) 不成立. 當(dāng)點(diǎn) C 在線(xiàn)段 A B 上時(shí)，$

$ 同 (2) 可得 M N=\frac{a-b}{2} . $

$如圖①所示， $

$當(dāng)點(diǎn) C 在線(xiàn)段 A B 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)， $

$因?yàn)? A B=a ，點(diǎn) M 是 A B 的中點(diǎn)， $

$所以 B M=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} a .$

$因?yàn)? B C=b ，點(diǎn) N 是 B C 的中點(diǎn)，$

$ 所以 B N=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} b ， $

$所以 M N=B M+B N=\frac{a+b}{2} . $

$所以線(xiàn)段 M N 的長(zhǎng)度為 \frac{a+b}{2} .$

$如圖② 所示， $

$當(dāng)點(diǎn) C 在線(xiàn)段 B A 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)， $

$因?yàn)? A B=a ，點(diǎn) M 是 A B 的中點(diǎn)， $

$所以 B M=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} a . $

$因?yàn)? B C=b ，點(diǎn) N 是 B C 的中點(diǎn)， $

$所以 B N=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} b . $

$所以 M N=B N-B M=\frac{b-a}{2} . $

$所以線(xiàn)段 M N 的長(zhǎng)度為 \frac{b-a}{2} .$

$綜上所述， M N 的長(zhǎng)度為 \frac{a-b}{2} 或 \frac{a+b}{2} 或 \frac{b-a}{2} .$

$ 解：(2)①20-3t$

$ ② 當(dāng) A M=2 B M 時(shí)， $

$ 30-3 t=2 \times 3 t ， $

$ 解得 t=\frac{10}{3} ；$

$ 當(dāng) A B=2 A M 時(shí)， $

$ 30=2 \times(30-3 t) ， $

$ 解得 t=5 ；$

$ 當(dāng) B M=2 A M 時(shí)， $

$ 3 t=2 \times(30-3 t) ，$

$ 解得 t=\frac{20}{3} .$

$ 綜上， t 為 \frac{10}{3} 或 5 或 \frac{20}{3} 時(shí)，$

$ 點(diǎn) M 是線(xiàn)段 A B 的“二倍點(diǎn)”.$

$ ③當(dāng) A N=2 M N 時(shí)， $

$ 2 t=2[2 t-(30-3 t)] ， $

$ 解得 t=\frac{15}{2} ；$

$ 當(dāng) A M=2 N M 時(shí)， $

$ 30-3 t=2[2 t-(30-3 t)] ， $

$ 解得 t=\frac{90}{13} ；$

$ 當(dāng) M N=2 A M 時(shí)，$

$ 2 t-(30-3 t)=2(30-3 t) ， $

$ 解得 t=\frac{90}{11} .$

$ 綜上， t 為 \frac{15}{2} 或 \frac{90}{13} 或 \frac{90}{11} 時(shí)，$

$ 點(diǎn) M 是線(xiàn)段 A N 的“二倍點(diǎn)”.\ $

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