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$解：原式 =(1+3+5+7+9+11+13+15+$

$17)+(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90})$

$=81+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-$

$\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10})$

$=81+(\frac{1}{2}-\frac{1}{10})$

$= 81+\frac{2}{5}$

$=81 \frac{2}{5} .$

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$-1\frac{4}{9} $

$\frac{1}{2024} $

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$解：(1)設A=\frac{1}{2024}+\frac{2}{2024}+\frac{3}{2024}+...+\frac{4047}{2024},B=\frac{4047}{2024}+\frac{4046}{2024}+...+ \frac{1}{2024},則A=B,A+B=2A=(\frac{1}{2024}+\frac{4047}{2024})+(\frac{2}{2024}+\frac{4046}{2024})+...+(\frac{4046}{2024}+\frac2{2024})+(\frac{4047}{2024}+\frac{1}{2024})=\frac{4048}{2024}+\frac{4048}{2024}+...+\frac{4048}{2024}=2×4047=8094，所以A=4047，即原式=4047.$

$解：(2)設B=\frac{1}{2}-(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})-··· (\frac{1}{2024}+\frac{2}{2024}+ ···+\frac{2023}{2024}) ①,$

$\ 所以B=\frac{1}{2}-(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})···.+(\frac{2023}{2024}+\frac{2022}{2024}+···\frac1 {2024}) ②,\ $

$所以2B=1-(1+1)+(1+1+1)-···+(1+1+···+1)=1-2+3-···-2022+ 2023=-1011+2023=1012，$

$所以B=506，即原式=506$

$解：(1)設S= \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{2})^4+···+(\frac{1}{2})^8①，$

$則2S=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac12)^3+··· (\frac{1}{2})^7 ②，$

$則②-①，得2S-S=S=1-\frac{1}{2^8}=\frac{255}{256}$

$解：設M=5+2×5^2+3×5^3+4×5^4+···+8×5^8 ①，$

$所以5M=1×5^2+2×5^3+3×5^4+···+8×5^9②，$

$所以②-①得$

$5M-M=(1×5^2+2×5^3+3×5^4+···+8×5^9)-(5+2×5^2+3×5^3+4×5^4+···+8×5^8)=8×5^9-(5+5^2+5^3+...+5^8)，$

$設T=5+5^2+5^3+···+5^8，$

$所以5T=5^2+5^3+···+5^8，$

$所以5T-T=5^9-5，$

$所以4T=5^9-5，$

$所以T=\frac{5^9-5}{4}，$

$所以5M-M=8×5^9-\frac{5^9-5}{4}，$

$所以4M=8×5^9-\frac{5^9-5}{4}，$

$所以M=\frac{8×5^9}4-\frac{5^9-5}{16}=\frac{31×5^9+5}{16}$

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