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$ 解：(1)連接CM，如圖$

$∵M(-1,0)$

$∴OM=1$

$∵OM⊥CD，CD=4\sqrt{6}$

$∴OC=\frac12CD=2\sqrt{6}$

$在Rt△COM中，CM=\sqrt{OM^2+OC^2}=5$

$∴AM=BM=CM=5$

$∴A(-6,0)，B(4,0)$

$(2)當Q在y軸左側時，過Q作EF//y軸，交x軸于E，$

$過P作PF//x軸交EF于F，如圖：$

$∵PQ與⊙M相切$

$∴∠MQP=90°$

$∴∠EQM=90°-∠FQP=∠FPQ$

$∵△MPQ為等腰直角三角形$

$∴PQ=MQ$

$在△MEQ和△QFP中$

${{\begin{cases} {∠MEQ=∠QFP } \\ {∠EQM=∠FPQ } \\ {MQ=PQ} \end{cases}}}$

$∴△MEQ≌△QFP(AAS)$

$ ∴EM=FQ，EQ=PF=OE，設EM=t$

$則EQ=PF=OE=OM+EM=t+1$

$在Rt△EMQ中EM^2+EQ^2=QM^2$

$即t^2+(t+1)^2=5^2$

$解得t=3或t=-4(舍)$

$∴EM=3，EQ=4$

$∴Q(-4，-4)$

$將A(-6,0)，Q(-4，-4)，O(0,0)$

$代入y=ax^2+bx+c得$

${{\begin{cases} {{0=36a-6b+c}} \\ {-4=16a-4b+c} \\ {0=c} \end{cases}}}$

$解得{{\begin{cases} {{a=\frac12}} \\ {b=3} \\ {c=0} \end{cases}}}$

$∴拋物線解析式為y=\frac12x^2+3x$

$當Q在y軸右側時，如圖：$

$同理可得拋物線的解析式為y=-\frac19x^2-\frac {2}{3}x$

$綜上所述拋物線的解析式為y=\frac12x^2+3x或$

$y=-\frac19x^2-\frac {2}{3}x$

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