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$證明:∵DE平分∠ADB,DF平分∠ADC$ $∴∠BDE=∠EDA,∠ADF=∠FDC$ $∴∠EDA+∠ADF$ $=\frac {1}{2}(∠BDA+∠ADC)=90°$ $∴DE⊥DF$
$證明:∵∠BDE+∠DBE=90°$ $∠BDE+∠CDF=90°$ $∴∠DBE=∠CDF$ $∵AD是△ABC中線$ $∴BD=CD$ $在△BDE和△DCF中$ ${{\begin{cases} {{∠BED=∠DFC}} \\ {∠DBE=∠CDF} \\ {BD=DC} \end{cases}}}$ $∴△BDE≌△DCF(AAS)$
$證明:由(2)知,△BDE≌△DCF$ $∴BE=DF$ $在△BDE和△FED中$ ${{\begin{cases} {{BE=FD}} \\ {∠BED=∠FDE} \\ {DE=ED} \end{cases}}}$ $∴△BDE≌△FED(SAS)$ $∴∠BDE=∠FED$ $∴BC//EF$
$解:在△ACQ和△PBA中$ ${{\begin{cases} {{AC=PB}} \\ {∠1=∠2} \\ {QC=AB} \end{cases}}}$ $∴△ACQ≌△PBA(SAS) $ $∴AQ=PA,∠QAC=∠APB$ $又∵∠APB+∠PAD=90°$ $∴∠QAC+∠PAD=∠PAQ=90°$ $∴AQ⊥AP$ $綜上,AP=AQ,AP⊥AQ$
$證明:易知,∠ACE+∠BCD=90°$ $又∵∠ACE+∠EAC=90°$ $∴∠EAC=∠BCD$ $在△AEC和△CDB中$ ${{\begin{cases} {{∠AEC=∠CDB}} \\ {∠EAC=∠DCB} \\ {AC=CB} \end{cases}}}$ $∴△AEC≌△CDB(AAS)$
$證明:過B'作BD⊥AC于D$ $易知,AB'=AB,∠AB'D+∠B'AD=90°$ $又∵∠B'AD+∠CAB=90°$ $∴∠AB'D=∠CAB$ $在△ADB'和△BCA中$ ${{\begin{cases} {{∠ADB'=∠BCA}} \\ {∠AB'D=∠BAC} \\ {AB'=BA} \end{cases}}}$ $∴△ADB'≌△BCA(AAS)$ $∴DB'=CA=4$ $∴S_{△AB'C}=\frac {1}{2}AC×DB'=8$
解: $易知,OB=BC-OC=1$ $∠FOP=120°$ $∴∠FOB+∠POC=60°$ $又∵∠FOB+∠OFB=∠EBC=60°$ $∴∠OFB=∠POC$ $易知,∠OBF=∠OCP$ $=180°-60°=120°$ $在△BOF和△CPO中$ ${{\begin{cases} {{∠OBF=∠PCO}} \\ {∠OFB=∠POC} \\ {OF=PO} \end{cases}}}$ $∴△BOF≌△CPO(AAS)$ $∴OB=PC=1$ $∴EP=EC+CP=4$ $4÷1=4(秒)$ $∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒.$
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