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$ 解:由題,BC=10 m,AC=20 m$

$設(shè)BD=x m,則AD=(30-x) m$

$有 DC^{2}+AC^{2}=AD^{2}$

$解得x=5$

$∴BD=5 m,DC=DB+BC=15 m$

$答:這棵樹高15m.$

$(2)證明:由(1)知,△AEC≌△CDB$

$∴DB=EC=a,CD=AE=b,CB=AC=c$

$S_{梯形ABDE}=\frac {1}{2}×(AE+BD)×ED=\frac {1}{2}(a+b)^{2}$

$S_{梯形ABDE}=\frac {1}{2}×ab×2+\frac {1}{2}c^{2}$

$∴\frac {1}{2}(a+b)^{2}=ab+\frac {1}{2}c^{2}$

$整理可得a^{2}+b^{2}=c^{2},即勾股定理$

（更多請(qǐng)點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）

$(2)成立,證明:$

$過C作CH⊥AB于H$

$∴易知,AH=BH$

$∴AC^{2}-PC^{2}=AH^{2}+HC^{2}-HP^{2}-CH^{2}$

$=AH^{2}-HP^{2}=(AH+HP)(AH-HP)$

$=AP·(BH-HP)=AP·BP$

（更多請(qǐng)點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）

$證明:∵∠ACE+∠EAC=90°$

$∠ACE+∠BCD=90°$

$∴∠EAC=∠BCD$

$在△AEC和△CDB中$

${{\begin{cases} {{∠AEC=∠CDB}} \\ {∠EAC=∠DCB} \\ {AC=CB} \end{cases}}}$

$∴△AEC≌△CDB(AAS)$

$∴EC=DB$

$證明:延長ED至G,使得DG=DE$

$連接GF,GC$

$在△EDF和△GDF中$

${{\begin{cases} {{DE=DG}} \\ {∠EDF=∠GDF} \\ {DF=DF} \end{cases}}}$

$∴△EDF≌△GDF(SAS)$

$∴EF=GF$

$∵D是BC中點(diǎn)$

$∴BD=CD$

$在△BDE和△CDG中$

${{\begin{cases} {{BD=CD}} \\ {∠BDE=∠CDG} \\ {DE=DG} \end{cases}}}$

$∴△BDE≌△CDG(SAS)$

$∴BE=CG,∠DBE=∠DCG$

$又∵∠DBE+∠ACB=90°$

$∴∠DCG+∠ACB=∠ACG=90°$

$∴CF^{2}+CG^{2}=GF^{2}$

$∴CF^{2}+BE^{2}=EF^{2}$

$證明:∵CP是等腰三角形ACB角平分線$

$∴CP⊥AB,PA=PB$

$∴AC^{2}-CP^{2}=AP^{2}=AP·BP$

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