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第45頁

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$解：①當2x+3=1時，解得x=-1，此時x+2024=2023$

$ 則(2x+3)^{x+2024}=1^{2023}=1，所以x=-1.$

$ ②當2x+3=-1時，解得x=-2，此時x+2024=2022$

$ 則(2x+3)^{x+2024}=(-1)^{2022}=1，所以x=-2$

$ ③當x+2024=0時，x=-2024，此時2x+3=-4045$

$ 則(2x+3)^{x+2024}=(-4045)^0=1，所以x=-202,$

$ 綜上所述，當x=-1或x=-2或x=-2024時$

$代數(shù)式(2x+3)^{x+2024}的值為1.$

$解：因為S=1+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+···+3^{-1000}$

$ \begin{aligned} 所以3S&=3×(1+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+···+3^{-1000}) \\ &=3+1+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+···+3^{-999} \\ \end{aligned}$

$ 所以2S=(3+1+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+···+3^{-999})$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~-(1+3^{-1}+3^{-2}+3^{-3}+···+3^{-1000} )$

$~~~~~~~~~~~~~~=3-3^{-1000}$

$所以S=\frac{3-3^{-1000}}{2}$

$1-2^{-n}$

$解：如圖①、圖②、圖③、圖④所示。$

$解：因為(\frac{5}{4})^3=\frac{5}{4}×\frac{5}{4}×\frac{5}{4}=\frac{125}{64}$

$ \begin{aligned} (\frac{4}{5})^{-3}&=\frac{1}{(\frac{4}{5}^3)} \\ &=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4} \\ &=\frac{5}{4}×\frac{5}{4}×\frac{5}{4} \\ &=\frac{125}{64} \\ \end{aligned}$

$所以(\frac{5}{4})^3=(\frac{4}{5})^{-3}$

$解：①由上述結論可知$

$(\frac{3}{8})^{-4}=(\frac{8}{3})^4$

$ \begin{aligned} 所以原式&=(\frac{8}{3})^4×(\frac{3}{4})^4 \\ &=(\frac{8}{3}×\frac{3}{4})^4 \\ &=2^4 \\ &=16 \\ \end{aligned}$

$②(-\frac{1}{2})^{-3} ×2^{-4}-4^{-2}×(-0.25)^{-3}$

$=(-2)^3×(\frac{1}{2})^4-(\frac{1}{4})^2×(-4)^3$

$= [(-2)×\frac{1}{2}]^3×\frac{1}{2}- [\frac{1}{4}×(-4)]^2×(-4)$

$=-\frac{1}{2} -(-4)$

$=-\frac{1}{2}+4$

$=3\frac{1}{2} $