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100

720

α°或180°-α°

40

76°或92°

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$解：∠BPC的度數(shù)是\frac{2}{3}m°或\frac{2m°+n°}{3}$

$或\frac{m°-n°}{3}或\frac{n°-m°}{3}或\frac{1}{3}m°$

$解：因為在四邊形ABCD中$

$∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°$

$所以∠ABC+∠ADC=360°-(α+β)$

$因為∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°$

$所以∠MBC+∠NDC$

$=180°-∠ABC+180°-∠ADC$

$=360°-(∠ABC+∠ADC)$

$=360°-[360°-(α+β)]$

$=α+β$

$解：β-α=90°.理由如下:$

$如圖①，連接BD$

$由(1)知，∠MBC+ ∠NDC=α+β$

$因為BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC$

$所以∠CBC=\frac{1}{2}∠MBC，∠CDG=\frac{1}{2}∠NDC$

$所以∠CBG+2 ∠CDG$

$=\frac{1}{2}∠MBC+\frac{1}{2} ∠NDC$

$=\frac{1}{2}(∠MBC+∠NDC)$

$=\frac{1}{2}(α+β)$

$在△BCD中，∠BDC+∠CBD$

$=180°-∠BCD$

$=180°-β$

$在△BDG中，∠BGD=45°$

$∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°$

$所以∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°$

$所以(∠CBG+∠CDG)+(∠CBD+∠BDC)+∠BGD=180°$

$所以(α+β)+180°-β+45°=180°$

$所以β-α=90°$

$解：BE//DF.理由如下:如圖②$

$延長BC交DF于點H$

$由(1)知， ∠MBC+∠NDC=α+β$

$因為BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC$

$所以∠CBE=\frac{1}{2}∠MBC，∠CDH=\frac{1}{2}∠NDC$

$所以∠CBE+∠CDH$

$=\frac{1}{2}∠MBC+\frac{1}{2}∠NDC$

$=\frac{1}{2}(∠MBC+∠NDC)$

$=\frac{1}{2}(α+β)$

$因為∠BCD+∠DCH$

$=∠CDH+∠DHB+∠DCH$

$所以∠BCD=∠CDH+∠DHB$

$ \begin{aligned} 所以∠CDH&=∠BCD-∠DHB \\ &=β-∠DHB \\ \end{aligned}$

$所以∠CBE+β-∠DHB=\frac{1}{2}(α+β)$

$因為α=β$

$所以∠CBE+β-∠DHB=\frac{1}{2}(β+β)=β$

$所以∠CBE=∠DHB$

$所以BE//DF$

$解：因為∠BPC=140°$

$所以∠PBC+∠PCB=40°$

$因為BP、CP分別是∠ABC“鄰BC三分線”和∠ACB“鄰BC三分線”$

$所以∠PBC=\frac{1}{3}∠ABC，∠PCB=\frac{1}{3}∠ACB$

$所以\frac{1}{3}∠ABC+\frac{1}{3}∠ACB=40°$

$所以∠ABC+∠ACB=120°$

$ \begin{aligned}所以∠A&=180°-(∠ABC+∠ACB) \\ &=180°-120° \\ &=60° \\ \end{aligned}$

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