$解：(1) 當(dāng)點(diǎn) P 在 C D 上時(shí)$
$\triangle P B F 的面積 為 S=6 \mathrm{cm}^{2}$
$則有 \frac{1}{2} ×BF ×4=6$
$解得 BF=3 \mathrm{cm}\ $
$當(dāng) t= 1 時(shí)，S=\frac{3}{2} \mathrm{cm}^{2}，BP=a \mathrm{cm}$
$則有 \frac{1}{2} ×BF ×BP=\frac{3}{2}$
$即 \frac{1}{2} ×3a=\frac{3}{2}$
$解得 a=1\ $
$∴線段 B F 的長為 3 \mathrm{cm}，a 的值為 1\ $
$(2)當(dāng) 0＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)$
$S=\frac{1}{2} ×B F ×B P= \frac{1}{2} ×3 ×t=\frac{3}{2}\ \mathrm {t}\ $
$當(dāng) 4＜t≤8時(shí)，點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)$
$此時(shí)面 積 S=\frac{1}{2} ×B F ×B C=\frac{1}{2} ×3 ×4=6\ $
$當(dāng) 8＜t≤10時(shí)，點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)$
$S=\frac{1}{2} ×B F ×A P=\frac{1}{2} ×3 ×(12-t)=18-\frac{3}{2}\ \mathrm {t}\ $
$綜上，S=\begin{cases}{\frac{3}{2}\ \mathrm {t}(0＜t≤4)}\\{6(4＜t≤8)}\\{18-\frac 32t(8＜t≤10)}\end{cases}$
$(3) 當(dāng) S=4 \mathrm{cm}^{2} 時(shí)，$
$①當(dāng)0＜t≤4時(shí)， \frac{3}{2}\ \mathrm {t}=4，解得 t=\frac{8}{3}\ $
$②當(dāng)8＜t≤10時(shí)， 18-\frac{3}{2}\ \mathrm {t}=4，解得 t=\frac{28}{3}\ $
$∴當(dāng) t=\frac{8}{3} 或 t=\frac{28}{3} 時(shí)，\triangle P B F 的面積 S 為 4 \mathrm{cm}^{2}\ $
