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$-\frac{7}{2}≤m≤\frac{5}{2} $

(4,6)

(1,6)

$解：\ (1) 建立平面直角坐標(biāo)系并描出$

$\ A 、 B 兩村的位置，如圖所示$

$A(0，1) 、 B(4，4)\ $

$(2)如圖，作點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點 A^{\prime}$

$連接 A^{\prime}\ \mathrm {B} 交 x 軸于點 P，$

$則點 P 即為水泵站的位置 (兩點之間線段最短)$

$PA+P B=PA^{\prime}+P B=A^{\prime}B，$

$A^{\prime}B即為所用水管的最短長度$

$過 B 、 A^{\prime} 分別作 x 軸、 y 軸的垂線交于點 E$

$∵點 A 的坐標(biāo) 為 (0，1)，點 B 的坐標(biāo)為 (4，4)$

$∴點 A^{\prime} 的坐標(biāo)為 (0，-1)\ $

$∵A^{\prime}\ \mathrm {E}=4，B E=5$

$∴在Rt \triangle A^{\prime}\ \mathrm {B}\ \mathrm {E} 中，A^{\prime}\ \mathrm {B}=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}\ $

$∴所用水管的最短長度為 \sqrt{41} 千米$

$解：(2)由題意可得，在移動過程中，$

$當(dāng)點 P 到x 軸的距離為 4 個單位$

$長度時，存在兩種情況$

$第一種情況，當(dāng)點 P 在 O C 上時，$

$點 P 移動的時間是 4 \div 2=2 (秒)；$

$第二種情況，當(dāng)點 P 在 BA 上時，$

$點 P 移動的時間是(6+ 4+2) \div 2=6 (秒).$

$∴在移動過程中，當(dāng)點 P 到 x 軸的距離$

$為 4 個單位長度時，點 P 移動的時間是 2 秒或 6 秒$

$(3)（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）$

$解：(3)如圖所示，∵\triangle O B P 的面積為 10$

$∴\frac{1}{2}\ \mathrm {O} P ·B C= 10$

$即 \frac{1}{2} ×4 ×O P=10，解得 O P=5$

$∴此時 t=\frac{5}{2} 秒$

$如圖所示，∵\triangle O B P 的面積為 10$

$∴\frac{1}{2}\ \mathrm {P} B ·O C=10$

$即 \frac{1}{2} ×6 ×P B=10，解得 B P=\frac{10}{3}$

$∴C P=\frac{2}{3}$

$∴此時 t=\frac{10}{3} 秒$

$如圖所示，∵\triangle O B P 的面積為 10$

$∴\frac{1}{2}\ \mathrm {B} P ·B C=10$

$即 \frac{1}{2} ×4 ×P B=10，解得 B P=5$

$∴此時 t=\frac{15}{2} 秒$

$如圖所示，∵\triangle O B P 的面積為 10$

$∴\frac{1}{2}\ \mathrm {O} P ·A B=10$

$即 \frac{1}{2} ×6 ×O P=10，解得 O P=\frac{10}{3}$

$∴此時 t=\frac{25}{3} 秒$

$綜上所述，滿足條件的時間 t 為 \frac{5}{2} 秒$

$或 \frac{10}{3} 秒或 \frac{15}{2} 秒或 \frac{25}{3} 秒$

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