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1+2+3+···+2023

$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

3.5

5

$5或2\sqrt 2或\sqrt {17}$

$解：(4) 原式 =1+2+3+···+100$

$=\frac{(100+1) ×100}{2}$

$=5050\ $

$(5)原式 =(1^{3}+2^{3}+3^{3}+···+19^{3}+20^{3})$

$-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+···+9^{3}+10^{3})$

$=(\sqrt{1^{3}+2^{3}+···+20^{3}})^{2}-(\sqrt{1^{3}+2^{3}+···+10^{3}})^{2}$

$=(1+2+ ···+20)^{2}-(1+2+···+10)^{2}$

$=(\frac{21 ×20}{2})^{2}-(\frac{11 ×10}{2})^{2}$

$= 210^{2}-55^{2}$

$=41075\ $

$解：(1) 由線段的和差，$

$得 B C=8-x\ $

$由勾股定理，得 A C+C E$

$= \sqrt{A B^{2}+B C^{2}}+\sqrt{D E^{2}+C D^{2}}$

$=\sqrt{5^{2}+(8-x)^{2}}+\sqrt{1+x^{2}}$

$= \sqrt{(8-x)^{2}+25}+\sqrt{x^{2}+1}$

$(2)存在$

$當(dāng) A 、 C 、 E 在同一直線上時，$

$A C+C E 的值最小$

$作 E F \perp A B，交 A B 的延長線于點(diǎn) F$

$∵\(yùn)angle A B D=90°$

$∴\angle F B D= 90°$

$∵\(yùn)angle D=\angle A F E=90°$

$∴B D=E F=8，A F=A B+B F=A B+ D E=6$

$∴A E=\sqrt{A F^{2}+E F^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$

$即 A C+C E 的最小值為 10\ $

$(3)（更多請點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）$

$解：(3)最小值為 25，理由如下：$

$如圖所示，作 B D=24，過點(diǎn) B 作 A B \perp B D 于點(diǎn) B$

$過點(diǎn) D 作 E D \perp B D 于點(diǎn) D，使 A B=3，E D=4$

$C 為線段 B D 上一動點(diǎn)，連接 A C 、 C E\ $

$設(shè) B C=x，則 C D=24-x\ $

$∴A C=\sqrt{x^{2}+9}，C E=\sqrt{(24-x)^{2}+16}\ $

$當(dāng) A 、 C 、 E 三點(diǎn)共線時，A E 的長度最小$

$即 A C+C E=\sqrt{x^{2}+9}+ \sqrt{(24-x)^{2}+16} 的值最小$

$過點(diǎn) A 作 A F // B D，交 E D 的延長線于點(diǎn) F$

$∴A B=D F=3，E F=D E+D F=7，$

$A F=B D=24$

$∴A E=\sqrt{A F^{2}+E F^{2}}=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=25$

$即代數(shù)式 \sqrt{x^{2}+9}+ \sqrt{(24-x)^{2}+16}\ $

$的最小值為 25\ $

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