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$證明：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，$

$作CF⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F$

$∵∠ABC=∠DBC=45°$

$∴BC為∠ABD的平分線$

$∴CE=CF$

$在四邊形BECF 中，$

$∵∠EBF=90°，∠BEC=90°，∠BFC=90°$

$∴∠ECF=90°$

$∵∠ACD=90°$

$∴∠ACE+∠ECD=∠FCD+∠ECD，$

$即∠ACE=∠FCD$

$∵CE=CF，∠CEA=∠CFD=90°$

$∴△ACE≌△DCF(\mathrm {ASA})$

$∴DC=AC$

$證明：(1)過(guò)點(diǎn)A 作AF⊥AE$

$交BE于點(diǎn)F$

$∵∠AEB=45°$

$∴∠AFE=180°-90°-45°=45°$

$∴△AEF 是等腰直角三角形$

$易證得△ABF≌△ACE(\mathrm {SAS})$

$∴∠ABE=∠ACE$

$又∵∠ADB=∠EDC，∠ABE+∠ADB=90°$

$∴∠ACE+∠EDC=90°$

$∴∠BEC=90°$

$∴CE⊥BD$

$(2)（更多請(qǐng)點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）$

（更多請(qǐng)點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）

$解：(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形$

$∴DE//AB$

$又∵M(jìn)為 BE的中點(diǎn)$

$∴△MDE≌△MNB(\mathrm {ASA})$

$∴DE=BN=DC，DM=MN$

$∵△ABC為等腰直角三角形$

$∴AC=AB$

$∴AN=AD$

$在等腰直角△ADN中，M為DN的中點(diǎn)$

$∴AM⊥DM，AM=DM$

$(3)AM⊥DM，AM=DM$

$證明：(2)過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F$

$∵∠AEC= 135°$

$∴∠AEF=45°$

$∴∠AFE=180°-90°-45°=45°$

$∴△AEF 是等腰直角三角形$

$易證得△ABE≌△ACF(\mathrm {SAS})$

$∴∠ABE=∠ACE$

$又∵∠ADB=∠EDC，$

$∠ABE+∠ADB=90°$

$∴∠ACE+∠EDC=90°$

$∴∠BEC=90°$

$∴CE⊥BD$

$解：(2)AM⊥DM，AM=DM，理由：$

$延長(zhǎng)DM交BC于N，連接AN、AD$

$∵∠DEC+∠BCE=180°$

$∴DE//BC$

$∴△MDE≌MNB(\mathrm {ASA})$

$∴BN=DE=DC，DM=MN$

$∴△ABN≌△ACD(\mathrm {SAS})$

$∴∠BAN=∠CAD，AN=AD$

$∵∠BAN+∠CAN=90°$

$則∠CAD+∠CAN=90°$

$∴△ADN為等腰直角三角形$

$在等腰直角三角形ADN中，$

$M為DN的中點(diǎn)$

$∴AM⊥DM，AM=DM$

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