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B

18°或112°

78

18

$解：(1)∵B D 是線(xiàn)段 A E 的垂直平分線(xiàn)$

$∴A B=B E，A D=D E\ $

$∵\(yùn)triangle A B C 的周長(zhǎng)為 18，$

$\triangle D E C 的周長(zhǎng)為 6$

$∴A B+B E+E C+ C D+A D=18$

$C D+E C+D E=C D+E C+A D=6$

$∴A B+B E=18- 6=12，∴A B=6$

$(2)∵\(yùn)angle A B C=30°，\angle C=45°$

$∴\angle BA C=180°-30°-45°=105°\ $

$在 \triangle BA D 和 \triangle B E D 中$

$\begin{cases}{BA=B E}\\{B D=B D}\\{DA=D E}\end{cases}$

$∴\triangle BA D≌ \triangle B E D(\mathrm{SSS})\ $

$∴\angle B E D=\angle BA C=105°$

$∴\angle C D E=\angle B E D-\angle C=105°- 45°=60°\ $

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$解：(1)∵M(jìn)N⊥AB$

$∴∠ACP=∠BCP=90°$

$在△ACP 和△BCP 中$

$\begin{cases}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCP}\\{PC=PC}\end{cases}$

$∴△ACP≌△BCP(\mathrm {SAS})$

$∴PA=PB$

$解：(2)①∵M(jìn)N垂直平分AB$

$∴MB=MA$

$∵△MBC的周長(zhǎng)是18\ \mathrm {cm}$

$∴MB+MC+BC=MA+MC+BC$

$=AC+BC=18\ \mathrm {cm}$

$∵AC=AB=10\ \mathrm {cm}$

$∴BC=8\ \mathrm {cm}$

$②存在，如圖所示$

$∵AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)N，$

$交AC于點(diǎn)M$

$∴PA=PB$

$∴△PBC的周長(zhǎng)=PB+PC+BC$

$=PA+PC+BC$

$∴當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P 與點(diǎn)M重合時(shí)，$

$PA+PC的值最小$

$即此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小，$

$最小值為PA+PC+8=AC+8=18\ \mathrm {cm}$

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