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$解：(2)如圖所示$
$作法：①過點(diǎn)A作AE//l，$
$在AE上截取AA'=a$
$②作點(diǎn)B關(guān)于直線1的對稱$
$點(diǎn)B'，連接A'B'交直線l于點(diǎn)N$
$③過點(diǎn)A作 AM//A'B'，$
$交直線于點(diǎn)M，則點(diǎn)M、N即為所求$

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解：(1)如圖所示
(2)如圖所示
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$解：(1)如圖①所示$

$根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和“兩點(diǎn)之間線段最短”,$
$以l為對稱軸,作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A',連接A'B,$
$與l的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M$
$解：(1)猜想： \angle P O P^{\prime \prime}=2 α，理由 ∶如圖 $

$在 \triangle D O P 與 \triangle D O P^{\prime} 中$
$\begin{cases}{O D=O D}\\{ \angle P D O=\angle P^{\prime}\ \mathrm {D} O}\\{D P=D P^{\prime}}\end{cases}$
$∴\triangle D O P≌\triangle D O P^{\prime}$
$∴\angle D O P=\angle D O P^{\prime}\ $
$同理可得， \triangle E O P^{\prime \prime}≌\triangle E O P^{\prime}$
$∴\angle E O P^{\prime \prime}= \angle E O P^{\prime}$
$∵\(yùn)angle E O P^{\prime}+\angle D O P^{\prime}=\angle A O B=α$
$∴\angle P O P^{\prime \prime}=2 α$
$解：(2)成立$
$如圖， 當(dāng)點(diǎn) P 在 \angle A O B 內(nèi)時$

$同 (1) 可得， \triangle D O P^{\prime}≌ \triangle D O P，\triangle E O P^{\prime \prime}≌ \triangle E O P^{\prime}$
$∴\angle P O D= \angle P^{\prime}\ \mathrm {O} D， \angle E O P^{\prime \prime}=\angle E O P^{\prime}$
$∴\angle P O P^{\prime \prime}=\angle P^{\prime}\ \mathrm {O} P^{\prime \prime}- \angle P O P^{\prime}=2α$
$如圖， 當(dāng)點(diǎn) P 在 \angle A O B 的邊上時$

$同 (1) 可 得 \triangle E O P^{\prime \prime}≌\triangle E O P$
$∴\angle P O P^{\prime \prime}=2α$
$解：(3)連接P_{1}A、P_{1}D、P_{1}B、P_{2}C、P_{2}D和P_{2}B$

$根據(jù)題意得 ∠AP_{1}D=∠AP_{1}B，∠DP_{1}C=∠BP_{1}C$
$∴∠AP_{1}B+∠BP_{1}C=180°$
$∴P_{1} 在AC上，同理，P_{2}也在AC上$
$在△DP_{1}P_{2} 和△BP_{1}P_{2} 中$
$\begin{cases}∠DP_{2}P_{1}=∠BP_{2}P_{1}\\P_{1}P_{2}=P_{1}P_{2}\\∠DP_{1}P_{2}=∠BP_{1}P_{2}\end{cases}$
$∴△DP_{1}P_{2}≌△BP_{1}P_{2}(\mathrm {ASA})$
$∴DP_{1}=BP_{1}，DP_{2}=BP_{2}$
$于是點(diǎn)B、D關(guān)于AC對稱$
$設(shè)P是P_{1}P_{2}上任一點(diǎn)，連接PD、PB$
$由對稱性，得∠DPA=∠BPA，$
$∠DPC=∠BPC$
$∴點(diǎn)P 是四邊形ABCD的半等角點(diǎn)，$
$即線段P_{1}P_{2}上任一點(diǎn)都是四邊形ABCD$
$的半等角點(diǎn)$
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