解：?$(1)$?設(shè)第一次相切時，?$△ABC$?移至?$△A'B'C'$?處，如圖①，
設(shè)?$A'C'$?與?$⊙O$?相切于點(diǎn)?$E，$?連接?$OE$?并延長，交?$B'C'$?于點(diǎn)?$F.$?
設(shè)?$⊙O$?與直線相切于點(diǎn)?$D，$?連接?$OD，$?
則?$OE⊥A'C'，$??$OD⊥l.$?
由切線長定理，可知?$C'E =C'D，$?
設(shè)?$C'D=x\ \mathrm {cm} ，$?
則?$C'E = x\ \mathrm {cm} .$?
在?$Rt△C'EF$?中,由題意易得?$∠A'C'B'=∠EFC'=45°，$?
∴ 易知?$C'F= \sqrt{2} x\ \mathrm {cm} ，$?
且在?$ Rt △ OF D$?中，?$FD=OD=1\ \mathrm {cm} ，$?
?$∴ \sqrt{2} x+x=1，$?
?$∴x= \sqrt{2}-1，$?
?$∴ CC'=5-1-( \sqrt{2} -1)=(5-\sqrt{2} )\ \mathrm {cm}，$?
∴ 點(diǎn)?$C$?移動的時間為?$(5- \sqrt{2} )÷(2+0.5)= \frac {10-2\sqrt{2}}{5} (\mathrm {s})，$?
∴ 點(diǎn)?$B$?移動的距離為?$ \frac {10-2\sqrt{2}}{5} ×2= \frac {20-4\sqrt{2}}{5} (\ \mathrm {cm}) $?
?$(2) ∵ △ABC$?與?$⊙O$?最后一次相切，是邊?$AB$?與?$⊙O$?相切，且圓心在?$AB$?的左側(cè)，
∴ 路程差為?$6\ \mathrm {cm}，$?速度差為?$1\ \mathrm {cm}/s，$?
?$∴ △ABC$?從開始移動到它的邊(邊?$BC$?除外)與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了?$6÷1=6(\mathrm {s})$?
?$(3)$?不存在 理由：
?$∵△ABC$?與?$⊙O$?從開始移動到如圖②所示的位置時，路程差為?$4\ \mathrm {cm}，$?速度差為?$1\ \mathrm {cm}/s，$?
∴移動時間為?$4÷1=4(\mathrm {s})，$?
此時?$△ABC$?移動至?$△A''B''C''$?處.
記?$⊙O$?與?$A''B''$?相切于點(diǎn)?$W，$?與?$B''C”$?相切于點(diǎn)?$S，$?
連接?$OW、$??$OS、$??$B''O，$?延長?$B''O，$?交?$A''C''$?于點(diǎn)?$P，$?
則?$OW⊥A''B''，$??$OS⊥B''C''.$?
?$∴∠B''WO=∠OSB''=90°.$?
?$∵∠A''B''C''=90°，$?
∴ 四邊形?$OWB''S$?是矩形.
又?$∵OW=OS，$?
∴ 四邊形?$OWB''S$?是正方形，
∴易得?$∠OB''S=45°.$?
在?$△B''PC''$?中，?$∠A''C''B''=45°，$??$∠B''PC''=180°-45°-45°=90°，$?
?$∴B''P⊥A''C''.$?
?$∵A''B''=1+4×0.5=3(\ \mathrm {cm})，$?
?$∴B''C''=A''B''=3\ \mathrm {cm}，$?
∴ 由勾股定理，易得?$B''P=C''P=\frac {3\sqrt{2}}{2}\ \mathrm {cm}，$??$B''O=\sqrt{2}\ \mathrm {cm}，$?
?$∴OP=\frac {3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}=\frac {\sqrt{2}}{2}(\ \mathrm {cm}).$?
?$∵\(yùn)frac {\sqrt{2}}{2}<1，$?
∴此時?$⊙O$?與?$A''C''$?相交，
∴不存在某一時刻，使得?$△ABC$?與?$⊙O$?的公共部分的面積等于?$⊙O$?的面積.
