解：?$(2)$?在?$PC$?上截取?$PD=AP，$?連接?$AD，$?如圖?$1：$?
∵∠APC=60°，
?$∴△APD$?是等邊三角形，
?$∴AD=AP=PD，$??$∠ADP=60°，$??$∠ADC=120°.$?
?$∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，$?
?$∴∠ADC=∠APB.$?
在?$△APB$?和?$△ADC$?中，?$∠APB=∠ADC，$??$∠ABP=∠ACD，$??$AP=AD，$?
?$∴△APB≌△ADC，$?
?$∴BP=CD.$?
又?$∵PD=AP，$?
?$∴PC=PA+PB.$?
?$(3)$?當(dāng)點(diǎn)?$P$?為?$\widehat{AB}$?的中點(diǎn)時(shí)，四邊形?$APBC$?的面積最大.
理由如下：如圖?$2，$?過(guò)點(diǎn)?$P$?作?$PE⊥AB，$?垂足為?$E，$?過(guò)點(diǎn)?$C$?作?$CF⊥AB，$?垂足為?$F.$?
?$∵S_{△APB}=\frac {1}{2}AB·PE，$??$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB·CF，$?
?$∴S_{四邊形APBC}=\frac {1}{2}AB·(PE+CF).$?
當(dāng)點(diǎn)?$P$?為?$\widehat{AB}$?的中點(diǎn)時(shí)，?$PE+CF=PC，$??$PC$?為?$⊙O$?的直徑，
∴此時(shí)四邊形?$APBC$?的面積最大.
?$∵⊙O$?的半徑為?$1，$?
∴其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)?$AB=\sqrt{3}，$?
?$∴S_{四邊形APBC}=\frac {1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}.$?
