解：?$(1)$?如圖，設?$AC、$??$BD$?交于點?$E. $?
?$∵ AC⊥BD，$?
?$∴ ∠AED=90°$?
?$∵ BC//AD，$?
?$∴ ∠DBC，$??$=∠ADB. $?
?$∵ \widehat{CD}=\widehat{CD}，$?
?$∴ ∠DBC=∠DAC，$?
?$∴ ∠ADB=∠DAC，$?
∴ 在?$Rt△AED$?中，?$∠ADB=∠DAC=45°. $?
?$∵ OA=OD，$?
?$∴ ∠OAD=∠ODA.$?
∵ 在?$△OAD$?中，?$∠AOD=120°，$?
?$∴ ∠OAD=30°，$?
?$∴ ∠CAO=∠DAC-∠OAD=15°$?
?$ (2)$?如圖，連接?$OB、$??$OC，$?過點?$O$?作?$OH⊥AD，$?垂足為?$H $?
?$∵ OA=OD，$??$OH⊥AD，$?
?$∴ AH=\frac {1}{2}\ \mathrm {AD}= \frac {\sqrt{3}}{2} $?
∵ 在?$Rt△OHA$?中，?$∠OAH=30°，$?
?$∴ OH=\frac {1}{2}\ \mathrm {OA}.$?
在?$Rt△OHA$?中，由勾股定理，得?$OH2+AH2=OA2，$?
?$∴ ( \frac {1}{2}OA)2+( \frac {\sqrt{3}}{2})2=OA2，$?
解得?$OA=1($?負值舍去) .
?$∵\widehat{CD}=\widehat{CD}，$?
?$∴ ∠COD=2∠DAC=90。$?°
同理，得?$∠AOB=90°. $?
?$∵ ∠AOD=120°，$?
?$ ∴ ∠BOC=360°-90°-90°-120°=60°.$?
?$∵ OB=OC，$?
?$∴ △OBC$?是等邊三角形，
?$ ∴ BC=OB. $?
?$∵ OB=OA=1，$?
?$∴ BC=1$
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