解：?$(1)$?因為?$△=b^2-4ac=[-(2k+3)]^2-4×1×(k^2+3k+2)=1＞0，$?
所以方程總有兩個不相等的實數(shù)根.
?$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$?的解為?$x=\frac {2k+3±1}{2}，$?
?$∴x_1=k+2，$??$x_2=k+1，$?
設(shè)?$AB=k+2，$??$AC=k+1，$?
當(dāng)?$AB^2+AC^2=BC^2，$?即?$(k+2)^2+(k+1)^2=5^2，$?
解得：?$k_1=-5，$??$k_2=2，$?
由于?$AB=k+2＞0，$??$AC=k+1＞0，$?
所以?$k=2；$?
當(dāng)?$AB^2+BC^2=AC^2，$?即?$(k+2)^2+5^2=(k+1)^2，$?
解得：?$k=-14，$?
由于?$AB=k+2＞0，$??$AC=k+1＞0，$?
所以?$k=-14$?舍去；
當(dāng)?$AC^2+BC^2=AB^2，$?即?$(k+1)^2+5^2=(k+2)^2，$?
解得：?$k=11，$?
由于?$AB=k+2=13，$??$AC=12，$?
所以?$k=11，$?
?$∴k$?為?$2$?或?$11$?時，?$△ABC$?是直角三角形.
?$(2)$?若?$AB=BC=5$?時，?$5$?是方程?$x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$?的實數(shù)根，
把?$x=5$?代入原方程，得?$k=3$?或?$k=4.$?
由?$(1)$?知，無論?$k$?取何值，?$△＞0，$?
所以?$AB≠AC，$?故?$k$?只能取?$3$?或?$4.$?
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：?$AB+AC=2k+3，$?
當(dāng)?$k=3$?時，?$AB+AC=9，$?
則周長是?$9+5=14；$?
當(dāng)?$k=4$?時，?$AB+AC=8+3=11.$?
則周長是?$11+5=16.$?
綜上所述，當(dāng)?$k=3$?或?$k=4$?時，?$△ABC$?是等腰三角形，?$△ABC$?的周長分別是?$14，$??$16.$
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