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$5\frac{1}{2} $

$-\frac{3}{13} $

$ \begin{aligned}解:原式&=\sqrt{32}×\sqrt{\frac{1}{3}} \\ &= \sqrt{32×\frac{1}{3}} \\ &=\sqrt {3} . \\ \end{aligned}$

$解:由-\frac{1}{x}＞0，得x＜0，$

$ \begin{aligned} ∴x \sqrt{-\frac{1}{x}}&=-(-x)\sqrt{-\frac{1}{x}} \\ &=- \sqrt{(-x)2}·\sqrt{-\frac{1}{x}} \\ &=- \sqrt {x2·(-\frac {1}{x})} \\ &=- \sqrt{-x}. \\ \end{aligned}$

$解:由\frac{1}{1-x}＞0，得 1-x＞0，$

$∴x-1＜0.$

$∴ (x-1) \sqrt{\frac{1}{1-x}}$

$= - \sqrt{(1-x)2·\frac {1}{1-x}}$

$=- \sqrt{1-x.}$

$解:設(shè)圓的半徑是r cm，根據(jù)題意，$

$得πr2= \sqrt{96π}× \sqrt{54π}$

$= \sqrt{16×6π}× \sqrt{9×6π}$

$=4 \sqrt{6π}×3\sqrt {6π}\ $

$=12×6π=72π，$

$∴r2=72.$

$∵r＞0，∴r=\sqrt {72} = \sqrt{36×2}=6\sqrt {2} ，$

$∴所求圓的半徑為6\sqrt {2} cm.$

3

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$解:由二次根式有意義可得$

$\begin{cases}{x+1≥0, } \\ {4-x≥0, } \end{cases} $

$即-1≤x≤4.$

$∴\sqrt{(5-x)2}= 5-x，$

$4-( \sqrt{4-x})2=x.$

$ \begin{aligned}∴C_{△ABC} &= \sqrt{x+1}+ \sqrt{(5-x)2}+4-( \sqrt{4-x})2 \\ &=\sqrt{x+1}+5-x+x \\ &= \sqrt{x+1}+5. \\ \end{aligned}$

$解:由(2)可得C_{△ABC} = \sqrt{x+1}+5且-1≤x≤4.\ $

$∵x為整數(shù)，且要使C_{△ABC}\ 取得最大值，$

$∴x的值可以從大到小依次驗證.\ $

$當x=4時，三條邊的長度分別是\sqrt {5} ，1，4，$

$但此時5+1＜4，不滿足三角形三邊關(guān)系，$

$∴x≠4.\ $

$當x=3時，三條邊的長度分別是2，2，3，滿足三角形三邊關(guān)系，\ $

$故此時C_{△ABC}\ 取得最大值為7，符合題意.\ $

$不妨設(shè)a=2，b=2，c=3，$

$得S= \sqrt{\frac{1}{4}[a2b2-(\frac{a2+b2-c2}{2})2]}\ $

$=\sqrt{\frac{1}{4}×[22×22-(\frac{22+22-32}{2})2]}$

$= \sqrt{\frac{1}{4}×(16-\frac{1}{4})}$

$=\frac{3}{4}\sqrt {7} .$

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