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PM=QM

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$解:①四邊形PMQN是正方形，理由如下:$

$如圖③，連接CE、BD，延長(zhǎng)CE交BD于H，$

$交AB于O，∵∠DAE=∠BAC，$

$∴∠CAE=∠BAD.∵AE= AD，AC=AB，$

$∴△CAE≌△BAD，∴CE=BD，$

$∠ACE=∠ABD.∵∠ACO+∠AOC=90°，$

$∠AOC=∠BOH，∴∠ABD+∠BOH =90°，$

$∴∠CHB=90°，∴CH⊥BD.$

$∵點(diǎn)P、Q、M、分別為DE、BC、DC、BE$

$的中點(diǎn)，∴PM= \frac{1}{2} CE，QN= \frac{1}{2} CE，$

$PM//CE，同理可得MQ= \frac{1}{2} BD，$

$PN= \frac{1}{2} BD，PN //BD，\ \ \ \ \ $

$∴MP=MQ=PN =QN ，$

$∴四邊形PMQN是菱形.∵CH ⊥BD，$

$∴PM⊥ PN，∴四邊形PMQN是正方形.$

$②16.$

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$解:∠BAF=∠CDE.理由如下:$

$連接AD，如圖①，$

$∵AB//DE，AF// CD，$

$∴∠DAF=∠CDA，∠DAB=∠EDA，$

$∴∠DAF+∠DAB=∠CDA+∠EDA，$

$∴∠BAF=∠CDE.\ $

$解:AF=CD.理由如下:$

$如圖②，延長(zhǎng)FA、CB交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)FE、CD 交于點(diǎn)N，$

$∵BC//EF，AF//CD，$

$∴四邊形MFNC為平行四邊形，$

$∠F+∠N=180°，∠F+∠M=180°，$

$∴MF=CN，∠M=∠N，$

$由(1)得∠BAF=∠CDE，$

$∴ ∠MAB=∠NDE.$

$∵ ∠M= ∠N， ∠MAB=∠NDE，AB=DE.$

$∴△ABM≌△DEN(AAS)，$

$∴AM=DN，$

$∴AF=CD.$

$解:△PMQ是等腰三角形，理由如下:$

$如圖①，連接CE、BD，由旋轉(zhuǎn)得\ $

$∠DAE=∠BAC=60°，$

$∴∠CAE=∠BAD.$

$∵AE=AD，AC=AB，$

$∴△CAE≌△BAD，$

$∴CE=BD.$

$∵點(diǎn)P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點(diǎn)，$

$∴PM=\frac{1}{2}CE，$

$QM=\frac{1}{2}BD，$

$∴PM=QM，$

$∴△PMQ是等腰三角形.$

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