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A

B

(-3，1)

45或225

$\frac{3}{8} $

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5

$\sqrt {5}\ $

證明:∵△ADP沿點A旋轉至△ABP'，

∴根據旋轉的性質可知，

△APD≌△AP'B，

∴AP=AP'，∠PAD=∠P'AB.

∵∠PAD+∠PAB=90°，

∴∠P'AB+∠PAB=90°，

即∠PAP'=90°.

∴△APP'是等腰直角三角形.

$解:由(1)知∠PAP'=90°，AP=AP'=1，$

$∴PP'=\sqrt {2} .$

$∵P'B=PD= \sqrt{10}， PB=\sqrt{8}，$

$∴P'B2=PP'2+PB2，$

$∴ △BPP'是直角三角形，∠P'PB=90°.$

$∵△APP'是等腰直角三角形，$

$∴∠APP'=45°，\ $

$∴∠BPQ=180°-90°-45°=45°.\ $

$解:如圖，過點B作BE⊥AQ，垂足為E.$

$∵∠BPQ=45°，PB=\sqrt{8}，$

$易得PE=BE=2，$

$∴AE=AP+PE=1+2=3，$

$∴AB=\sqrt {AE2+BE2} =\sqrt{32+22}= \sqrt{13}，$

$即正方形ABCD的邊AB的長為 \sqrt{13} .$

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