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解：?$(1)①$?正方形的面積?$={(a+1)}^2$?或正方形的面積?$=a^2+2a+1$?

?$(2)$?如圖，把該長方形視為一個邊長為?$a+b$?的正方形時，其面積為?${(a+b)}^2.$?

同時，該長方形可視為四個長方形的拼圖，四個長方形指兩個邊長分別為?$a$?和?$b$?

的正方形，以及兩個相同的小長方形(長和寬分別為?$a$?和?$b).$?

此時，其面積為?$a^2+b^2+2ab.$?

由此，可推導(dǎo)出?${(a+b)}^2=a^2+b^2+2ab$?

解：?$∠BDC=∠A+∠B+∠C，$?

理由如下：

連接?$AD$?并延長，記?$AD$?的延長線為?$DE，$?如圖所示

∵?$∠BDE=∠B+∠BAD，$??$∠CDE=∠C+∠CAD$?

∴?$∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+(∠BAD+∠CAD)=∠B+∠C+∠A$?

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解：設(shè)?$∠ADC=m°，$??$∠AEC=n°，$?則有

?${{\begin{cases} { {∠DCE=m°+n°+50°}} \\{∠DBE=2m°+2n°+50°}\end{cases}}}$?

∵?$∠DBE=130°$?

∴?$m°+n°=40°$?

∴?$∠DCE=90°$?

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