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證明：?$(1)$?因為?$AC$?是?$∠DAB$?的平分線，
所以?$∠1=∠2$?
又因為?$∠2=∠4$?
所以?$∠1=∠4$?
所以?$AB//DC$?
?$ (2)$?因為?$AB//DC，$?
因為?$AD//BC，$?
所以?$∠2=∠3$?
由?$∠1=∠2，$?得?$∠3=∠4$?
解：設這個多邊形每個內角的度數為?$x，$?則它相鄰的外角為?$x-90，$?
由題意可得：?$x+(x-90)＝180，$?
解得：?$x＝135，$?
則?$x-90＝45，$?
所以這個多邊形的每個內角為?$135°，$?每個外角為?$45°；$?
因為?$360÷45＝8，$?
所以這個多邊形是正八邊形.
證明：?$(1)$?因為?$∠1+∠2= 180°，$?
所以?$∠EBD+∠CDB =180° $?
從而?$∠A=∠ADF=∠ADB.$?
又因為?$∠A=∠C$?
所以?$∠ADF=∠C$?
所以?$AD//BC$?
?$ (2)$?因為?$AD//BC，$?
又因為?$AE//FC，$?
所以?$∠C=∠CBE$?
因為?$∠C=∠ADB，$?
所以?$∠DBC=∠CBE$?
解：設?$∠C=x ，$?
則?$∠ABC=x，$??$∠A=\frac x 2，$?
故?$x+x+\frac x 2=180°$?
解得?$x= 72. $?
所以?$∠DBC= 90°-∠C= 18°.$?
解：?$∠D=\frac 12∠A.$?
理由：如圖，
由三角形外角性質，有?$∠3+∠4=∠1+∠2+∠A.$?
又因為?$BD、$??$CD$?分別是?$∠ABC$?和?$∠ACE$?的平分線，
所以?$∠1=∠2，$??$∠3=∠4.$?
從而?$2∠4=2∠1+∠A，$?
即?$∠4=∠1+\frac 12∠A$?
在?$△BCD$?中，?$∠4$?是一個外角，有?$∠4=∠1+∠D，$?
所以?$∠D=\frac 12∠A .$?
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