?$(1)$?證明：∵?$DO⊥AB $?
∴?$∠DOB=∠DOA=90°$?
∴?$∠DOB=∠ACB$?
∵?$∠B=∠B$?
∴?$△DOB∽△ACB$?
?$(2)$?解：∵?$∠ACB=90° $?
∴?$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {6^2+8^2}=10$?
∵?$AD$?平分?$∠CAB，$??$DC⊥AC，$??$DO⊥AB $?
∴?$DC=DO$?
在?$Rt△ACD$?和?$Rt△AOD$?中
?$\begin{cases}AD=AD\\DC=DO\end{cases}$?
∴?$Rt△ACD≌Rt△AOD(\mathrm {HL})$?
?$AC=AO=6$?
設(shè)?$BD=x，$?則?$DC=DO=8-x，$??$OB=AB-AO=4$?
在?$Rt△BOD$?中，由勾股定理得，?$DO^2+OB^2=BD^2，$?即?$(8-x)^2+4^2=x^2$?
解得?$x=5$?
∴?$BD$?的長(zhǎng)為?$5$?
?$(3)$?∵點(diǎn)?$B'$?與點(diǎn)?$B$?關(guān)于直線?$DO$?對(duì)稱
∴?$∠B=∠OB'D，$??$BO=B'O，$??$BD=B'D$?
∵?$∠B$?是銳角
∴?$∠OB'D$?也為銳角
∴?$∠AB'D$?為鈍角
∴當(dāng)?$△AB'D$?為等腰三角形時(shí)，?$AB'=DB'$?
∵?$△DOB∽△ACB$?
∴?$\frac {OB}{BD}=\frac {BC}{AB}=\frac 8{10}=\frac 45$?
設(shè)?$BD=5x，$?則?$AB'=DB'=5x，$??$BO=B'O=4x$?
∵?$AB'+B'O+BO=AB$?
∴?$5x+4x+4x=10$?
解得?$x=\frac {10}{13}$?
∴?$BD=\frac {50}{13}$?
