解?$：(1)$?因為?$EF//GH，$?所以?$∠ECA=∠CAB=60°，$?
所以?$∠ECB=∠ACB+∠ECA=90°+60°=150° $?
?$(2)∠O$?的度數(shù)保持不變
理由：如圖，過點?$O$?作?$OP//EF.$?因為?$EF//GH，$?所以?$EF//OP//GH.$?
所以?$∠COP=∠DCE，$??$∠POQ=∠OQH，$??$∠ECQ=∠CQH.$?
因為?$CD$?平分?$∠ACE，$??$QT$?平分?$∠CQH，$?
所以?$∠DCE=\frac {1}{2} ∠ACE，$??$∠OQH=\frac {1}{2} ∠CQH=\frac {1}{2} ∠ECB.$?
所以?$∠COP=\frac {1}{2} ∠ACE，$??$∠POQ=\frac {1}{2} ∠ECB.$?
所以?$∠COQ=∠COP+∠POQ=\frac {1}{2} ∠ACE+ \frac {1}{2} ∠ECB=\frac {1}{2} (∠ACE+∠ECB)=\frac {1}{2} ∠ACB=\frac {1}{2} ×90°=45°.$?
所以?$∠O$?的度數(shù)保持不變，始終是?$45° $?
?$(3)$?存在.
理由：因為?$∠ACB=90°，$??$∠A=60°，$?
所以?$∠APQ+∠CQP=360°-∠ACB-∠A=360°-90°-60°=210°.$?
因為?$EF//GH，$?所以?$∠FCB=∠CQP=n°.$?所以?$∠APQ+∠CQP=∠APQ+n°=210°.$?
因為?$∠APH=m∠FCB，$?所以?$∠APH=\ \mathrm {mm}°.$?所以?$mn°+n°=210°，$?由此得出?$n=\frac {210}{m+1}.$?
因為點?$A$?在直線?$EF、$??$GH$?之間(不含?$EF、$??$GH$?上)，點?$B$?在?$GH$?下方，所以?$30°< n°< 90°，$?
即?$mn°<180°，$??$m、$??$n$?是正整數(shù).
所以當?$m=1$?時，?$n=\frac {210}{2}=105，$?不合題意，舍去；
當?$m=2$?時，?$n=\frac {210}{3}=70，$?符合題意；
當?$m=3$?時，?$n=\frac {105}{2} $?不是正整數(shù)，舍去；
當?$m=4$?時，?$n=\frac {210}{5}=42，$?符合題意；
當?$m=5$?時，?$n=35，$?符合題意；
當?$m=6$?時，?$n=\frac {210}{7}=30，$?不合題意，舍去.
綜上所述，?$m=2，$??$n=70$?或?$m=4，$??$n=42$?或?$m=5，$??$n=35$?
