解?$：(1)$?設(shè)?$S=1+2+2^2+2^3+2^4+·s+2^9+2^{10}①.$?
將等式兩邊同時(shí)乘?$2，$?得?$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+·s+2^{10}+2^{11}②.$?
將②減去①,得?$2S-S=2^{11}-1.$?
所以?$S=2^{11}-1，$?即?$1+2+2^2+2^3+2^4+·s+2^9+2^{10}=2^{11}-1$?
?$(2)$?設(shè)?$S=1+3+3^2+3^3+3^4+·s+3^{n-1}+3^{n}①.$?
將等式兩邊同時(shí)乘?$3，$?得?$3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+·s+3^{n}+3^{n+1}②.$?
將②減去①,得?$3S-S=3^{n+1}-1.$?
所以?$S=\frac {1}{2}(3^{n+1}-1)，$?即?$1+3+3^2+3^3+3^4+·s+3^{n-1}+3^{n}=\frac {1}{2}(3^{n+1}-1)($?其中?$n$?為正整數(shù))
