解：?$(1)$?把點(diǎn)?$A(1，$??$4)$?代入?$y=\frac ax，$?得?$a=4，$?
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為?$y=\frac 4x.$?
把點(diǎn)?$B(-4，$??$c)$?代入?$y=\frac 4x，$?得?$c=-1，$?
∴?$B(-4，$??$-1).$?
把點(diǎn)?$ A(1，$??$4)、$??$B(-4，$??$-1)$?代入?$y=kx +b，$?
得?$\begin{cases}{k+b=4 } \\{-4k+b=-1} \end{cases}，$?解得?$\begin{cases}{k=1，}\\{b=3}\end{cases}$?
一次函數(shù)的表達(dá)式為?$y=x+3 $?
?$ (2) $?如圖①，∵?$A(1，$??$4)、$??$B(-4，$??$-1)，$?點(diǎn)?$P $?是點(diǎn)?$A$?關(guān)于?$x$?軸的對(duì)稱點(diǎn)，
∴?$P(1，$??$-4)$?
∴?$PA=8$?
∴?$S_{△PAB}=\frac 12×8×(4+1)=20$?
?$(3)$?由題意，可知?$M(m，$??$m+3)，$??$N(n，$??$n+3)，$??$E(m，$??$\frac 4m)，$??$F(n，$??$\frac 4n)$?
∵?$-4＜m＜0，$??$n＞1$?
∴?$ME=m+3-\frac 4m，$??$NF=n+3-\frac 4n.$?
當(dāng)?$ME=NF $?時(shí)，?$m+3-\frac 4m=n+3-\frac 4n，$?
即?$(m-n)(1+\frac 4{mn})=0.$?
∵?$-4＜m＜0，$??$n＞1$?
∴?$m≠n.$?
∴?$1+\frac 4{mn}=0$?
∴?$mn=-4$?
∴當(dāng)?$mn=-4$?時(shí)，?$ME=NF$?
