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第47頁(yè)

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證明：∵ 四邊形?$ABCD$?是正方形，

∴?$ BC=CD，$??$∠BCD=90°. $?

∵?$ CE⊥BG，$??$DF⊥CE，$?

∴?$ ∠BEC=∠DFC=90°. $?

∴?$ ∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF. $?

∴?$ ∠CBE=∠DCF.$?

在?$△CBE$?和?$△DCF $?中

?$\begin{cases}{∠BEC=∠CFD，}\\{∠CBE=∠DCF，}\\{BC=CD，}\end{cases}$?

∴?$ △CBE≌△DCF(\mathrm {AAS}). $?

∴?$ BE=CF，$??$CE=DF. $?

∵?$ CE=EF+CF，$?

∴?$DF=BE+EF.$

證明：?$(1) $?∵?$ AD$?是?$△ABC$?的角平分線，

∴?$ ∠EAD=∠FAD. $?

∵?$ DE⊥AB，$??$DF⊥AC，$?

∴?$ ∠AED=∠AFD=90°.$?

在?$△AED$?和?$△AFD$?中，

?$\begin{cases}{∠EAD=∠FAD，}\\{∠AED=∠AFD，}\\{AD=AD，}\end{cases}$?

∴?$ △AED≌△AFD(\mathrm {AAS})$?

∴?$AE=AF. $?

∴?$ AD⊥EF.$?

?$(2)△ABC$?滿足?$∠BAC=90°$?時(shí)，四邊形?$AEDF$?是正方形

理由：∵?$ ∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，$?

∴四邊形?$AEDF $?是矩形,

∵?$ EF⊥AD，$?

∴ 矩形?$AEDF$?是正方形.

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線段AC的中點(diǎn)

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證明：?$(1) $?∵?$ O$?是?$EF$?的中點(diǎn)，?$GO=OD，$?

∴四邊形?$EDFG$?是平行四邊形.

如圖，連接?$CD.$?

在?$△ABC$?中，∵?$ ∠ACB=90°，$??$AC=BC，$?

∴?$ ∠A=∠B=45°. $?

∵?$ ∠ACB=90°，$??$D$?是?$AB$?的中點(diǎn)，

∴?$ CD=\frac 12\ \mathrm {AB}=AD，$??$∠DCF=\frac 12 ∠ACB=45°，$??$CD⊥AB. $?

∴?$ ∠A=∠DCF.$?

在?$△ADE $?和?$△CDF $?中，

?$\begin{cases}{AE=CF，}\\{∠A=∠DCF，}\\{AD=CD，}\end{cases}$?

∴?$ △ADE≌△CDF(\mathrm {SAS}). $?

∴?$ DE=DF，$??$∠ADE=∠CDF. $?

∵?$ ∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，$?

∴?$ ∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°. $?

∴?$ ?EDFG$?是正方形.

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