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第45頁

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證明：∵ 四邊形?$ABCD$?是菱形，
∴?$ AB=BC=CD=AD，$??$∠DAB=∠DCB，$??$AC$?平分?$∠DAB，$??$AC$?平分?$∠DCB.$?
∴?$ ∠DAC=∠BAC=\frac 12 ∠DAB，$??$∠DCA=∠ACB=\frac 12 ∠DCB. $?
∴?$ ∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB.$?
∵?$ AE=CF，$?
∴?$ △DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(\mathrm {SAS}). $?
∴?$ DE=BE=BF=DF. $?
∴ 四邊形?$DEBF$?是菱形.
證明：?$(1) $?∵?$ AF//BC，$?
∴?$ ∠AFC=∠FCD，$??$∠FAE=∠CDE. $?
∵?$ E$?是?$AD$?的中點，
∴?$ AE=DE. $?
在?$△FAE$?和?$△CDE$?中，
?$\begin{cases}{∠AFE=∠DCE}\\{∠FAE=∠CDE}\\{AE=DE}\end{cases}$?
∴?$ △FAE≌△CDE(\mathrm {AAS}). $?
∴?$ AF=CD. $?
∵?$ D$?是?$BC$?的中點，
∴?$ BD=CD. $?
∴?$ AF=BD.$?
∴ 四邊形?$AFBD$?是平行四邊形 
∵?$ ∠BAC=90°，$??$D$?是?$BC$?的中點，
∴?$ AD=BD=\frac 12\ \mathrm {BC}. $?
∴ 四邊形?$ADBF $?是菱形 .
?$(2) $?∵ 四邊形?$ADBF$?是菱形，
∴ 菱形?$ADBF$?的面積?$=2△ABD$?的面積. 
∵?$ D$?是?$BC$?的中點，
∴?$ △ABC$?的面積?$=2△ABD$?的面積. 
∴菱形?$ADBF $?的面積?$=△ABC$?的面積?$=40. $?
∴?$ \frac 12\ \mathrm {AB}·AC= 40.$?
∴?$ \frac 12 ×8·AC=40. $?
∴?$ AC=10.$?
證明：?$(1) $?∵ 四邊形?$ABCD$?是平行四邊形，
∴?$ OA=OC，$??$BE//DF.$?
∴?$ ∠E=∠F.$?
在?$△AOE$?和?$△COF $?中，
?$\begin{cases}{∠E=∠F，}\\{∠AOE=∠COF.}\\{OA=OC，}\end{cases}$?
∴?$ △AOE≌△COF(\mathrm {AAS}). $?
∴?$ AE=CF. $?
?$(2) $?當?$EF⊥BD$?時，四邊形?$BFDE$?是菱形 .
理由：如圖，連接?$BF、$??$DE. $?
∵ 四邊形?$ABCD$?是平行四邊形，
∴?$ OB=OD. $?
∵?$ △AOE≌△COF，$?
∴?$ OE=OF. $?
∴ 四邊形?$BFDE$?是平行四邊形. 
∵?$ EF⊥BD $?
∴ 四邊形?$BFDE$?是菱形.

解：當點?$P$?運動到?$∠ABC$?的平分線與?$AC$?的交點處時，四邊形?$PEBF$?是菱形 
理由：∵?$ PE//BC，$??$PF//AB，$?
∴ 四邊形?$PEBF$?為平行四邊形 
∵?$ PE//BC，$?
∴?$ ∠BPE=∠PBF.$?
又 ∵?$ BP $?平分?$∠ABC，$?
∴?$ ∠EBP=∠PBF. $?
∴?$ ∠BPE=∠EBP.$?
∴?$ BE=PE. $?
∴ 四邊形?$PEBF$?是菱形.
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