解：?$(1)$?∵四邊形?$ABCD$?是菱形，且菱形?$ABCD$?的邊長為?$2$?
∴?$AB=BC=2，$??$∠BAC= \frac 12∠DAB$?
又∵?$∠DAB=60°$?
∴?$∠BAC=∠BCA=30°$?
如圖①，連接?$BD$?交?$AC$?于點?$O$?
∵四邊形?$ABCD$?是菱形
∴?$AC⊥BD，$??$OA=\frac {1}{2}\ \mathrm {AC}$?
∴?$OB=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}=1$?
∴?$OA=\sqrt 3，$??$AC=2OA=2\sqrt{3}$?
運動?$ts $?后，?$AP=\sqrt{3}\ \mathrm {t}，$??$AQ=t$?
∴?$\frac {AP}{AQ}=\frac {AC}{AB}=\sqrt 3$?
又∵?$∠PAQ=∠CAB$?
∴?$△PAQ∽△CAB$?
∴?$∠APQ=∠ACB$?
?$(2)$?如圖②，?$\odot P $?與?$BC$?切于點?$M，$?連接?$PM，$?則?$PM⊥BC$?
在?$Rt△CPM$?中，∵?$∠PCM=30°$?
∴?$PM=\frac {1}{2}\ \mathrm {PC}=\sqrt{3} - \frac {\sqrt{3}}{2}\ \mathrm {t}$?
由?$PM=PQ=AQ=t，$?即?$\sqrt 3- \frac {\sqrt{3}}{2}\ \mathrm {t}=t$?
解得?$t=4 \sqrt{3} -6$?
此時?$\odot P $?與邊?$BC$?有一個公共點
如圖③，?$OP $?過點?$B，$?此時?$PQ=PB$?
∵?$∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°$?
∴?$△PQB$?為等邊三角形
∴?$QB=PQ=AQ=t$?
∴?$t=1$?
∴當(dāng)?$4 \sqrt{3} -6< ≤1$?時，?$\odot P $?與邊?$BC$?有兩個公共點
如圖④，?$⊙P $?過點?$C，$?此時?$PC=PQ，$?即?$2 \sqrt{3} - \sqrt{3}\ \mathrm {t}=t$?
∴?$t=3-\sqrt{3} $?
∴當(dāng)?$1< t≤3-\sqrt{3} $?時，?$\odot P $?與邊?$BC$?有一個公共點
當(dāng)點?$P $?運動到點?$C，$?即?$t=2$?時，點?$Q 、$?點?$B$?重合，?$\odot P $?過點?$B，$?此時?$\odot P $?與邊?$BC$?有一個公共點
綜上所述，當(dāng)?$t=4 \sqrt{3} -6$?或?$1< t< 3-\sqrt{3} $?或?$t=2$?時，?$\odot P $?與菱形?$ABCD$?的邊?$BC$?有一個公共點；
當(dāng)?$4 \sqrt{3} -6< t≤1$?時，?$\odot P $?與邊?$BC$?有兩個公共點
