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解：∵?$AF//BC$?
∴?$∠F=∠E$?
∵點(diǎn)?$D$?是?$AB$?的中點(diǎn)
∴?$AD=BD$?
在?$△ADF $?和?$△BDE$?中
?             $\begin{cases}{∠F=∠E}\\{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\end{cases}$?
∴?$△ADF≌△BDE(\mathrm {AAS})$?
∴?$AF=BE$?
設(shè)?$AF=BE=x，$?則?$CE=BC+BE=8+x$?
∵?$∠F=∠E，$??$∠AGF=∠CGE$?
∴?$△AGF∽△CGE$?
∴?$\frac {AF}{CE}=\frac {GA}{CG}=\frac 13$?
∴?$\frac x{8+x}=\frac 13$?
解得?$x=4$?
∴?$AF=4$?
解：?$(1)$?相切，理由如下
連接?$BC$?
∵?$∠EAB=∠ADB$?
∴?$∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠ADB+∠BAC=∠ACB+∠BAC$?
∵?$AC$?是?$\odot O$?的直徑
∴?$∠ABC=90°$?
∴?$∠EAC=∠ACB+∠BAC=90°$?
∴?$AE$?與?$\odot O$?相切
?$(2)$?相似，理由如下：
∵?$△AEF$?是直角三角形，點(diǎn)?$B$?是?$EF$?的中點(diǎn)
∴?$BA=BF$?
∴?$∠BAC=∠AFE$?
∵?$∠EAF=∠ABC=90°$?
∴?$△AEF∽△BCA$?
?$(3)$?∵?$△AEF∽△BCA$?
∴?$\frac {AF}{AB}=\frac {EF}{AC}$?
∵?$AF=4，$??$CF=2$?
∴?$AC=6$?
∵?$AB=\frac 12EF$?
∴?$\frac 4{\frac 12EF}=\frac {EF}6$?
∴?$EF=4\sqrt 3$?
在?$Rt△AEF $?中，∵?$EF=4\sqrt 3，$??$AF=4$?
∴?$AE=\sqrt {EF^2-AF^2}=4\sqrt 2$?
解：?$(1)$?∵?$△PQC$?的面積與四邊形?$PABQ$?的面積相等
∴?$S_{△ABC}=2S_{△PQC}$?
∵?$PQ//AB$?
∴?$△ABC∽△PQC$?
∴?$\frac {CP}{AC}=\frac {\sqrt 2}2$?
∵?$AC=4$?
∴?$CP=2\sqrt 2$?
?$(2)$?∵?$△ABC∽△PQC$?
∴?$\frac {CP}{CQ}=\frac {AC}{BC}=\frac 43$?
設(shè)?$CP=4x，$?則?$CQ=3x，$??$PA=4-4x，$??$QB=3-3x$?
∵?$△PQC$?的周長與四邊形?$PABQ$?的周長相等
∴?$CP+CQ=PA+QB+AB$?
∴?$4x+3x=(4-4x)+(3-3x)+5$?
解得?$x=\frac 67$?
∴?$CP=4x=\frac {24}{7}$?
?$(3)$?分兩種情況
①過點(diǎn)?$P$?作?$PM⊥AB，$?垂足為點(diǎn)?$M，$?要使?$△PQM$?為等腰直角三角形，則?$PM=PQ$?

∵?$△PQC∽△ABC，$??$PM=PQ$?
∴?$\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-PM}{\frac {12}{5}}=\frac {\frac {12}{5}-PQ}{\frac {12}{5}}$?
∴?$PQ=\frac {60}{37}$?
②當(dāng)?$∠PMQ=90°$?時(shí)，要使?$△PQM$?為等腰直角三角形，則有?$\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-\frac 12PQ}{\frac {12}{5}}$?
解得?$PQ=\frac {120}{49}$?
綜上所述，?$PQ$?的長為?$\frac {60}{37}$?或?$\frac {120}{49}$?
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