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第62頁(yè)

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解：?$(1)$?在?$Rt△ABC$?中，∵?$AC=2，$??$BC=3，$??$∠C=90°$?

∴?$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {13}$?

∴?$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac 3{\sqrt {13}}=\frac {3\sqrt {13}}3，$??$cosA=\frac {AC}{AB}=\frac 2{\sqrt {13}}=\frac {2\sqrt {13}}{13}$?

?$(2)$?不妨設(shè)?$BC=1，$?則?$AB=\sqrt 3$?

在?$Rt△ABC$?中，∵?$BC=1，$??$AB=\sqrt 3，$??$∠C=90°$?

∴?$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt 2$?

∴?$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac 1{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}3，$??$cos A=\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}=\frac {\sqrt 6}3$?

?$(3)tan B=\frac {AC}{BC}=\frac 35$?

不妨設(shè)?$AC=3x，$?則?$BC=5x$?

在?$Rt△ABC$?中，∵?$AC=3x，$??$BC=5x$?

∴?$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {34}x$?

∴?$sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {5x}{\sqrt {34}x}=\frac {5\sqrt {34}}{34}，$??$cosA=\frac {AC}{AB}=\frac {3x}{\sqrt {34}x}=\frac {3\sqrt {34}}{34}$?

解：連接?$OA、$??$OC，$?過(guò)點(diǎn)?$O$?作?$OD⊥BC，$?垂足為點(diǎn)?$D$?

∵?$PA$?與?$\odot O$?相切

∴?$OA⊥PA$?

∵?$OD⊥BC，$??$PA⊥PB$?

∴四邊形?$OAPD$?是矩形

∴?$OA=DP，$??$OD=AP$?

∵?$BC=8，$??$OD⊥BC$?

∴?$CD=\frac 12BC=4$?

∵?$CP=1$?

∴?$OA=DP=5$?

在?$Rt△OCD$?中，∵?$OC=OA=5，$??$CD=4$?

∴?$OD=\sqrt {OC^2-CD^2}=3$?

∴?$AP=OD=3$?

在?$Rt△APB$?中，∵?$AP=3，$??$BP=BC+CP=9$?

∴?$AB=\sqrt {AP^2+BP^2}=3\sqrt {10}$?

∴?$sin ∠ABC=\frac {AP}{AB}=\frac 3{3\sqrt {10}}=\frac {\sqrt {10}}{10}$?

解：過(guò)點(diǎn)?$O$?作?$OD⊥AC，$?垂足為點(diǎn)?$D$?

設(shè)直線?$AC$?的函數(shù)表達(dá)式為?$y=kx+b$?

將點(diǎn)?$A(2，$??$0)、$??$B(0，$??$2)$?代入得?$\begin{cases}{2k+b=0}\\{b=2}\end{cases}，$?解得?$\begin{cases}{k=-1}\\{b=2}\end{cases}$?

∴直線?$AC$?的表達(dá)式為?$y=-x+2$?

將點(diǎn)?$C(-1，$??$m)$?代入得?$m=3$?

∴點(diǎn)?$C$?的坐標(biāo)為?$(-1，$??$3)$?

∴?$OC=\sqrt {(-1)^2+3^2}=\sqrt {10}$?

∵?$OA=OB=2$?

∴?$∠OAB=45°$?

∵?$OD⊥AC$?

∴?$△OAD$?為等腰直角三角形

∴?$OD=\frac {OA}{\sqrt 2}=\sqrt 2$?

在?$Rt△OCD$?中，∵?$OD=\sqrt 2，$??$OC=\sqrt {10}$?

∴?$sin ∠ACO=\frac {OD}{OC}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt {10}}=\frac {\sqrt 5}5$?

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