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證明：?$ (1)$?∵?$ AE^2=AD · AB$?
∴?$\frac {AE}{AB}=\frac {AD}{AE}$?
∵?$∠A=∠A$?
∴?$△ADE∽△AEB$?
?$(2) $?∵?$△ADE∽△AEB$?
∴?$∠AED=∠ABE$?
∵?$∠ABE= ∠ACB$?
∴?$∠AED=∠ACB$?
∴?$DE//BC$?
?$(3)$?∵?$DE//BC$?
∴?$∠CBE=∠BED$?
∵?$∠ABE=∠ACB$?
∴?$△BCE∽△EBD$?
解：?$(1)$?相似，理由如下：
∵?$△ABC、$??$△DCE、$??$△FEG$?是?$3$?個全等的等腰三角形且?$AB=\sqrt 3，$??$BC=1$?
∴?$FG=\sqrt 3，$??$EG=1，$??$BG=3$?
∴?$\frac {FG}{EG}=\frac {BG}{FG}=\sqrt 3$?
∵?$∠G=∠G$?
∴?$△BFG∽△FEG$?
?$(2)$?∵?$△BFG∽△FEG$?
∴?$\frac {BF}{BG}=\frac {FE}{FG}$?
∵?$FE=FG$?
∴?$BF=BG=3$?
?$(3)$?求?$BP $?的長
∵?$△ABC、$??$△DCE、$??$△FEG$?是三個全等的等腰三角形
∴?$∠ACB=∠G$?
∴?$AC//FG$?
∴?$△BCP∽△BGF$?
∴?$\frac {BP}{BC}=\frac {BF}{BG}$?
∵?$BF=BG$?
∴?$BP=BC=1$?
證明：∵?$BE^2=EF · EA$?
∴?$\frac {BE}{EF}=\frac {EA}{BE}$?
∵?$∠BEF=∠AEB$?
∴?$△BEF∽△AEB$?
∴?$∠EBF=∠EAB$?
∵四邊形?$ABCD$?是平行四邊形
∴?$AD//BC$?
∴?$∠EBF=∠BDA$?
∴?$∠EAB=∠BDA $?
∵?$∠ABD=∠FBA$?
∴?$△ABD∽△FBA$?
∴?$\frac {AB}{BF}=\frac {BD}{AB}$?
∴?$AB^2= BF · BD$?
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